Konvergence v míře

Konvergence v míře je jeden ze dvou různých matematických konceptů, které zobecňují koncept konvergence náhodných proměnných.

Definice

Nechť $f,f_{n}\ (n\in \mathbb {N} ):X\to \mathbb {R}$ jsou měřitelné funkce na prostoru s mírou $(X,\Sigma ,\mu )$. O posloupnosti $f_{n}$ řekneme, že konverguje globálně v míře k $f,$ pokud pro každé $\varepsilon >0$ platí

$\lim _{n\to \infty }\mu (\{x\in X:|f(x)-f_{n}(x)|\geq \varepsilon \})=0$,

a že konverguje lokálně v míře k $f,$ pokud pro každé $\varepsilon >0$ a každou funkci $F\in \Sigma$, jejíž míra je konečná ($\mu (F)<\infty$), platí

$\lim _{n\to \infty }\mu (\{x\in F:|f(x)-f_{n}(x)|\geq \varepsilon \})=0$.

Na konečném prostoru s mírou jsou oba pojmy ekvivalentní. Jinak může konvergence v míře znamenat buď globální konvergenci v míře, anebo lokální konvergenci v míře, podle autora.

Vlastnosti

V následujícím textu jsou f a f_n (n $\in$ N) měřitelné funkce X → R.

• Globální konvergence v míře implikuje lokální konvergenci v míře. Opak však neplatí; tj. obecně lokální konvergence v míře je striktně slabší než globální konvergence v míře.
• Pokud však $\mu (X)<\infty$ nebo, obecněji, pokud f a všechny f_n zanikají mimo nějakou množinu konečné míry, pak rozdíl mezi lokální a globální konvergencí v míře mizí.
• Pokud μ je σ-konečná a (f_n) konverguje (lokálně nebo globálně) k f v míře, existuje vybraná posloupnost konvergující k f skoro všude. Předpoklad σ-konečnosti není nezbytný pro globální konvergenci v míře.
• Pokud μ je σ-konečná, (f_n) konverguje k f lokálně v míře právě tehdy, když každá vybraná posloupnost má naopak vybranou posloupnost, která konverguje k f skoro všude.
• Konkrétně, pokud (f_n) konverguje k f skoro všude, pak (f_n) konverguje k f lokálně v míře. Opak neplatí.
• Fatouovo lemma a věta o monotonní konvergenci platí, pokud konvergenci skoro všude nahradíme (lokální nebo globální) konvergencí v míře.
• Pokud μ je σ-konečná, platí také Lebesgueova věta, pokud konvergenci skoro všude nahradíme (lokální nebo globální) konvergencí v míře.
• Pokud X = ⟨a,b⟩ ⊆ R a μ je Lebesgueova míra, pak existuje posloupnost (g_n) schodovitých funkcí a spojitých funkcí (h_n) konvergujících globálně v míře k f.
• Pokud f a f_n (n ∈ N) jsou v L^p(μ) pro nějaké p > 0 a (f_n) konverguje k f v p-normě, pak (f_n) konverguje k f globálně v míře. Opak neplatí.
• Pokud f_n konverguje k f v míře a g_n konverguje k g v míře pak f_n + g_n konverguje k f + g v míře. Pokud je navíc prostor s mírou konečný, f_ng_n konverguje také k fg.

Protipříklady

Nechť $X=\mathbb {R}$, μ je Lebesgueova míra a f konstantní funkce s hodnotou nula.

• Posloupnost $f_{n}=\chi _{\langle n,\infty )}$ konverguje k f lokálně v míře, ale nekonverguje k f globálně v míře.
• Posloupnost $f_{n}=\chi _{\left\langle {\frac {j}{2^{k}}},{\frac {j+1}{2^{k}}}\right\rangle }$ kde $k=\lfloor \log _{2}n\rfloor$ a $j=n-2^{k}$ (Jejích prvních pět členů je $\chi _{\left\langle 0,1\right\rangle },\;\chi _{\left\langle 0,{\frac {1}{2}}\right\rangle },\;\chi _{\left\langle {\frac {1}{2}},1\right\rangle },\;\chi _{\left\langle 0,{\frac {1}{4}}\right\rangle },\;\chi _{\left\langle {\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}\right\rangle }$) konverguje k 0 globálně v míře; ale pro žádné x nekonverguje f_n(x) k nule. Tedy (f_n) nekonverguje k f skoro všude.

• Posloupnost $f_{n}=n\chi _{\left\langle 0,{\frac {1}{n}}\right\rangle }$ konverguje k f skoro všude a globálně v míře; nekonverguje však v p-normě pro jakékoli $p\geq 1$.

Topologie

Existuje topologie, nazývaná topologie (lokální) konvergence v míře, na kolekci měřitelných funkcí z X takových, že lokální konvergence v míře odpovídá konvergenci na této topologii. Tato topologie je definována vztahem rodiny pseudometrik

$\{\rho _{F}:F\in \Sigma ,\ \mu (F)<\infty \},$

kde

$\rho _{F}(f,g)=\int _{F}\min\{|f-g|,1\}\,d\mu$.

Obecně se můžeme omezit na nějakou podrodinu množin F (místo na všechny podmnožiny konečné míry). Stačí, aby pro každé $G\subset X$ konečné míra a $\varepsilon >0$ existovala v rodině funkce F taková, že $\mu (G\setminus F)<\varepsilon .$ Když $\mu (X)<\infty$, stačí uvažovat pouze jednu metriku $\rho _{X}$, takže topologie konvergence v konečné míře je metrizovatelná. Pokud $\mu$ je libovolná míra (konečná nebo nekonečná), pak

$d(f,g):=\inf \limits _{\delta >0}\mu (\{|f-g|\geq \delta \})+\delta$

stále definuje metriku, která generuje globální konvergenci v míře.

Protože tato topologie je generována rodinou pseudometrik, je uniformizovatelná. Pokud pracujeme s uniformními strukturami místo topologií, můžeme formulovat uniformní vlastnosti jako například Cauchyovskost.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Convergence in measure na anglické Wikipedii.

Literatura

• FREMLIN, D.H., 2000. Measure Theory. [s.l.]: Torres Fremlin. Dostupné online. 
• ROYDEN, H.L., 1988. Real Analysis. [s.l.]: Prentice Hall. 
• FOLLAND, G. B., 1999. Real Analysis. [s.l.]: John Wiley & Sons. Kapitola Section 2.4. 
• BOGACHEV, Vladimir I., 2007. Measure Theory. [s.l.]: Springer Science & Business Media. 

Související články

• Prostor konvergence