Lebesgueova věta

Lebesgueova věta popřípadě Lebesgueova věta o záměně limity a integrálu je matematická věta umožňující záměnu pořadí operací:$\lim$ a $\int$.

Znění věty

Ať funkce $\ f_{n}(x)$ a $\ f(x)$ jsou měřitelné v $\ M$ a $\ f_{n}(x)\rightarrow f(x)$ pro skoro všechna $x\in \mathbf {M}$. Ať existuje $\ g(x)\in \mathbf {L} (M)$ Tak, že $\ |f_{n}(x)|\leq g(x)$ skoro všude v $M$. Pak platí: $f$ je měřitelná na $M$ a $\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}f_{n}(x)dx=\int _{M}f(x)dx$, což lze zapsat i jako:$\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{M}f_{n}(x)dx=\int _{M}\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)dx$.

Poznámka

• Existuje i verze této věty pro řady funkcí

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Lebesgueova veta na slovenské Wikipedii.

• Http://mathworld.wolfram.com/LebesguesDominatedConvergenceTheorem.html