Otevřít hlavní menu

Supremum (někdy též spojení) je matematický pojem z oboru teorie uspořádání, který je často používán především při zkoumání vlastností reálných čísel. Supremum je zaváděno jako alternativa k pojmu největší prvek, oproti největšímu prvku je však dohledatelné u více množin – například omezené otevřené intervaly reálných čísel nemají největší prvek, ale mají supremum.

Duálním pojmem (opakem) suprema je infimum.

Obecná definiceEditovat

Předpokládejme, že množina   je uspořádána relací  . O prvku   řekneme, že je supremum podmnožiny  , pokud je to nejmenší prvek množiny všech horních závor množiny  . Tuto skutečnost značíme

 .

Supremum v množině reálných číselEditovat

Supremum má každá shora omezená množina, přestože ne každá má maximum (největší prvek). Například otevřený interval   maximum nemá (pro každé   můžeme nalézt  ), ovšem jeho supremem je právě   (jde o nejmenší horní závoru a jakékoliv větší číslo již nejmenší horní závorou není — lze argumentovat podobně jako u maxima).

Shora neomezené množiny supremum nemají. Například otevřený interval   nemá supremum v množině   všech reálných čísel.

Pokud má množina maximum   má i supremum  , pro které platí, že  .

Obecné vlastnosti a další příkladyEditovat

Vztah suprema a největšího prvkuEditovat

Nejen na množině reálných čísel, ale obecně na všech množinách, je supremum zobecněním pojmu největšího prvku. Pokud má množina největší prvek, je tento největší prvek zároveň jejím supremem. Naopak to však platit nemusí — prvním takovým příkladem je výše uvedený shora omezený otevřený interval na množině reálných čísel.

Pokud supremum existuje, pak je určeno jednoznačně — množina nemůže mít dvě různá suprema. To je dáno tím, že nejmenší prvek (tedy i nejmenší prvek množiny horních závor — supremum) je v případě, že existuje, jednoznačně určen.

Supremum podle dělitelnostiEditovat

Uvažujme o množině   všech kladných celých čísel a relaci   danou vztahem   (tj. číslo   je menší nebo rovné číslu   podle  , pokud číslo   dělí číslo  ).

Každá konečná podmnožina   má supremum. Supremem je v tomto případě nejmenší společný násobek. Zdaleka ne každá množina má ale největší prvek, například   nemá největší prvek, protože neplatí ani  , ani  . Přitom ale  .

Supremum na množině racionálních číselEditovat

Jak již bylo uvedeno výše, má každá shora omezená množina reálných čísel supremum. Zdálo by se, že množina   racionálních čísel je množině reálných čísel hodně podobná — je také hustě uspořádaná podle velikosti. Přesto ale existují shora omezené množiny racionálních čísel, které nemají (v množině racionálních čísel) supremum.

Příkladem takové množiny je

 .

Dá se poměrně snadno ověřit, že v množině   nemá tato množina supremum. Pokud bychom uvažovali o supremu této množiny v rámci všech reálných čísel, dopadlo by to o něco lépe — supremem by byla odmocnina ze dvou.

Supremum na ordinálních číslechEditovat

Uvažujme o třídě   všech ordinálních čísel. Ordinální čísla jsou dobře uspořádána — to znamená, že každá podmnožinanejmenší prvek a tím pádem i infimum. Zajímavější a na první pohled ne tak zjevné je, že každá shora omezená podtřída třídy   (shora omezená třída ordinálních čísel je vždy množina) má supremum, ale nemusí mít největší prvek.

Například množina konečných ordinálních čísel   nemá největší prvek, ale platí:

 .

Esenciální supremumEditovat

Mějme prostor s mírou   a  -měřitelnou reálnou funkci   na  , tj.  . Esenciální supremum funkce   na množině   pak značíme   a definujeme vztahem

 

Esenciální supremum je tedy infimum ze všech čísel   takových, pro něž když vezmeme množinu všech  , v nichž nabývá funkce   hodnoty větší než  , tak tato množina bude míry nula (podle míry  ).

Související článkyEditovat