Dedekindův řez

Dedekindův řez je matematický pojem z oboru teorie množin, který je využíván při množinové konstrukci číselného oboru reálných čísel.

Definice pomocí Dedekindových řezů

DefiniceEditovat

Dedekindův řez je každá dolní množina v lineárně uspořádané množině, která obsahuje své supremum, pokud toto supremum existuje.

MotivaceEditovat

V rámci teorie množin jsou všechny číselné obory konstruovány jako množiny - každé číslo je množina. Tyto množiny je třeba volit tak, aby jejich vzájemné vztahy odpovídaly intuitivním představám, které máme o daném číselném oboru.

Například přirozená čísla jsou v teorii množin konečná ordinální čísla uspořádaná relací "být podmnožina"   .

Racionální čísla jsou konstruována jako uspořádané dvojice celých čísel s uspořádáním, které přesně odpovídá naší představě o tom, které racionální číslo je větší a které menší.

Reálná čísla je třeba zkonstruovat tak, aby beze zbytku vyplňovala číselnou osu - to znamená aby každá neprázdná omezená množina měla v tomto číselném oboru supremum a infimum.

Dá se ukázat (vyplývá to například z poněkud obecněji pojaté MacNeilleovy věty), že množina všech Dedekindových řezů na množině racionálních čísel přesně odpovídá těmto požadavkům - lze ji použít jako izomorfní kopii číselného oboru reálných čísel.

Konstrukce zúplněníEditovat

Dedekindův řez je pro lineárně uspořádanou množinu (tedy i pro racionální čísla uspořádaná podle velikosti) pojem ekvivalentní s pojmem stabilní množina.

Množina všech   všech stabilních podmnožin nějaké množiny   je úplný svaz, to znamená, že je uzavřen na suprema a infima - je to tedy vhodný kandidát na „zúplnění“ o suprema a infima, které je třeba provést. Navíc pokud je   lineárně uspořádaná, pak je také   lineárně uspořádaná (relací   ).

Definujeme-li zobrazení   předpisem  , dostáváme izomorfní vnoření   do  .
Toto vnoření zachová suprema a infima, pokud existovala již v  , ale pokud v   neexistovala, pak v   již (pro izomorfní obraz) existují.

Speciálně pro racionální čísla   je   izomorfní s naší intuitivní představou o vlastnostech reálných čísel.

PříkladyEditovat

Množina   má supremum v   - platí  .
Tato množina se pomocí výše uvedeného zobrazení převede na množinu
  a její supremum je  . Supremum tedy zůstalo zachováno i při tomto zobrazení.

Množina   nemá v   supremum, ale pomocí výše uvedeného zobrazení jej v   získá:
  má supremum  , které není obrazem žádného prvku z   .

Vysvětlení pro laikyEditovat

Jednoduše řečeno, Dedekindův řez je zákonitost, která říká, že když "řízneme" do číselné osy v náhodném místě, získáme nějaké číslo, které se v tom místě nachází, neplatí tedy u všech číselných oborů.

OdkazyEditovat

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat