Úplný svaz

Úplný svaz je matematický pojem z oboru teorie uspořádání, který vymezuje mezi uspořádanými množinami ty, které jsou uspořádány „rozumně“ (to znamená, že zachovávají suprema a infima). Na rozdíl od svazu, kde je zachování suprem a infim požadováno pro dvouprvkové podmnožiny, pro úplný svaz je toto požadováno pro libovolné (tedy i nekonečné) podmnožiny.

DefiniceEditovat

Množinu   uspořádanou relací   nazveme úplným svazem, pokud pro každou svou podmnožinu obsahuje i její supremum a infimum.
 

Příklady a vlastnostiEditovat

Už z názvu je vidět, že každý úplný svaz je zároveň svaz. (Pokud obsahuje supremum a infimum pro každou podmnožinu, pak je obsahuje určitě i pro dvouprvkové podmnožiny – a to je přesně to, o co jde v definici svazu).

Je proto přirozené, hledat příklady úplného svazu mezi svazy a ptát se, které z nich jsou úplné.

Úplný svaz potenční algebryEditovat

Potenční algebra (tj. množina všech podmnožin nějaké množiny s uspořádáním relací „být podmnožinou“) je úplný svaz, protože sjednocení je v tomto případě supremem a průnik infimem.
Pokud je tedy   potenční množina a   je nějakou množinou podmnožin  

  •  
  •  

Svazy, které nejsou úplnéEditovat

Úplný svaz musí mít největší prvek a nejmenší prvek – musí totiž obsahovat supremum a infimum sebe sama (tj. celé množiny  ).

Z toho vyplvývá, že například přirozená čísla nebo reálná čísla při běžném uspořádání podle velikosti nemohou být úplný svaz (nemají totiž největší prvek) – jedná se o dva příklady svazu, který není úplným svazem.

Zúplnění svazu reálných číselEditovat

O reálných číslech   víme, že se jedná o svaz, navíc jejich omezené množiny mají supremum a infimum. Pokud by se podařilo nějak přidělit supremum a infimum i neomezeným množinám reálných čísel, získali bychom úplný svaz.

Uvažujme o množině, která vznikne z   jejich rozšířením o dva prvky:   je větší, než všechny čísla z   a   je menší, než všechna čísla z  . (Díky tranzitivitě uspořádání platí také, že   ).

Získali jsme množinu  , která již je úplný svaz:

  • omezené množiny z   mají supremum a infimum v  
  • zdola neomezená množina z   má infimum  
  • shora neomezená množina z   má supremum  
  • množina obsahující   má infimum  
  • množina obsahující   má supremum  

Související článkyEditovat