Dobře uspořádaná množina

V matematice se množina S nazývá dobře uspořádanou množinou, pokud má každá neprázdná část uspořádané množiny S nejmenší prvek. Uspořádání na množině S se pak nazývá dobré uspořádání.

Má-li každá neprázdná část A první prvek, Ernst Zermelo dokázal, že při přijmutí axiomu výběru do Zermelo-Fraenkelovy axiomatizace teorie množin je možno dokázat, že každou množinu lze dobře uspořádat. Tento princip je znám jako princip dobrého uspořádání.

S dobrým uspořádáním souvisí i paradoxy typu „Sorités“ (některé objekty nelze v rámci klasických teorií množin modelovat, např. hromada písku, ze které je-li odebráno 1 zrno zbude opět hromada písku (může taková hromada obsahovat 1 zrno, 2 zrna, 3 zrna…)), tyto paradoxy jsou vyřešeny ve Vopěnkově alternativní teorii množin zavedením tzv. polomnožin.

Příklady

• Přirozená čísla s uspořádáním menší nebo rovno jsou dobře uspořádaná.
• Celá čísla s uspořádáním menší nebo rovno nejsou dobře uspořádaná, jelikož například množina všech záporných čísel nemá nejmenší prvek.
• Racionální čísla s uspořádáním menší nebo rovno – nejsou dobře uspořádaná, jelikož například množina {1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …} neobsahuje nejmenší prvek (nehraje roli, že nadmnožina prvek 0 – infimum – obsahuje)
• Reálná čísla s uspořádáním menší nebo rovno nejsou dobře uspořádaná, jelikož například otevřený interval (0,1) nemá nejmenší prvek. Alternativně lze dobrou uspořádanost vyloučit podmnožinou jako u racionálních čísel.

• Ačkoli celá čísla s uspořádáním menší nebo rovno nejsou dobře uspořádaná, lze na nich vytvořit dobré uspořádání. Například následující relace je dobré uspořádání: x <_z y, právě když |x| < |y| nebo (|x| = |y| a x ≤ y). Uspořádání pak vypadá následovně:

0  -1  1  -2  2  -3  3  -4  4  … 

• Přijmeme-li axiom výběru a tedy Zornovo lemma, s nímž je ekvivalentní, víme, že i reálná čísla lze dobře uspořádat. Návod ovšem nemáme. Tento axiom, jak se vyjádřil Russel, je nejprve skoro samozřejmý, poté problematický a nakonec dojdeme k závěru, že nevíme, o čem je vlastně řeč.

Pokud je množina dobře uspořádaná, lze v ní použít důkazy pomocí transfinitní indukce.

Odkazy

Reference

Související články

• Lineární uspořádání
• Ordinální čísla
• Transfinitní indukce
• Princip dobrého uspořádání

Externí odkazy

• Uspořádané množiny, přirozená čísla, Doc. Dr. Vladimír Homola, Ph.D.

Portály: Matematika