Dobře uspořádaná množina

V matematice se množina S nazývá dobře uspořádanou množinou, pokud má každá neprázdná část uspořádané množiny S nejmenší prvek. Uspořádání na množině S se pak nazývá dobré uspořádání.

Má-li každá neprázdná část A první prvek, Ernst Zermelo dokázal, že při přijmutí axiomu výběru do Zermelo-Fraenkelovy axiomatizace teorie množin je možno dokázat, že každou množinu lze dobře uspořádat. Tento princip je znám jako princip dobrého uspořádání.

Příklady

• Přirozená čísla s uspořádáním menší nebo rovno jsou dobře uspořádaná.
• Celá čísla s uspořádáním menší nebo rovno nejsou dobře uspořádaná, jelikož například množina všech záporných čísel nemá nejmenší prvek.
• Racionální čísla s uspořádáním menší nebo rovno nejsou dobře uspořádaná, jelikož například množina {1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …} neobsahuje nejmenší prvek (nehraje roli, že nadmnožina prvek 0 – infimum – obsahuje)
• Reálná čísla s uspořádáním menší nebo rovno nejsou dobře uspořádaná, jelikož například otevřený interval (0,1) nemá nejmenší prvek. Alternativně lze dobrou uspořádanost vyloučit podmnožinou jako u racionálních čísel.

• Ačkoli celá čísla s uspořádáním menší nebo rovno nejsou dobře uspořádaná, lze na nich vytvořit jiné uspořádání, které již dobré je. Například následující relace je dobré uspořádání: x <_z y, právě když |x| < |y| nebo (|x| = |y| a x ≤ y). Uspořádání pak vypadá následovně:

0  -1  1  -2  2  -3  3  -4  4  … 

Pokud je množina dobře uspořádaná, lze v ní použít důkazy pomocí transfinitní indukce.

Odkazy

Související články

• Lineární uspořádání
• Ordinální čísla
• Transfinitní indukce
• Princip dobrého uspořádání

Externí odkazy

• Uspořádané množiny, přirozená čísla, Doc. Dr. Vladimír Homola, Ph.D.

Portály: Matematika