Zobrazení je v matematice předpis, kterým se prvkům určité množinyX přiřazuje nejvýše jeden prvek množiny Y. Přesněji mluvíme o zobrazení z množiny X do množiny Y. Pokud X=Y, mluvíme o zobrazení na množině. Ve speciálním případě, když je Y libovolná číselná množina, zobrazení nazýváme funkcí. Je-li prvku x množiny X přiřazen prvek y množiny Y, pak říkáme, že x je vzorem a y je obrazem.
Zobrazení, které přiřazuje vybarveným geometrickým tvarům barvu jejich výplně.
Matematicky je zobrazení speciálním případem binární relace, u které má každý vzor nejvýše jeden obraz.
Zobrazení z množiny do množiny je taková binární relace, pro kterou platí, že ke každému prvku množiny přiřazuje nejvýše jeden takový prvek množiny tak, že .
Prvek se nazývá obrazem prvku v zobrazení nebo také hodnotou zobrazení v bodě . Podobně obraz množiny v zobrazení je množina , na kterou se zobrazí :
Prvek se nazývá vzorem prvku v zobrazení . Podobně vzor množiny v zobrazení je množina obsahující všechny prvky, které se do množiny zobrazí; značí se
Množina právě těch prvků , pro které existuje prvek , že , se nazývá definičním oborem zobrazení (též zkráceně oborem zobrazení či úplným vzorem zobrazení). Je to tedy množina všech vzorů. Značí se zpravidla jednou ze značek .
Množina právě těch prvků , pro které existuje aspoň jeden takový prvek , že , se nazývá oborem hodnot zobrazení (též úplným obrazem zobrazení). Je to tedy množina všech obrazů, respektive obraz celého definičního oboru. Značí se zpravidla jednou ze značek .
V teorii množin se tedy zobrazení definuje jako binárnírelace splňující podmínku existence a jednoznačnosti:
Zobrazení množiny do množiny je takové zobrazení z množiny do množiny , pro které . Definičním oborem je tedy celá výchozí množina. Tedy ke každému prvku existuje (právě jeden) takový prvek , že .
Zobrazení z množiny na množinu neboli surjektivní zobrazení (surjekce) je takové zobrazení z množiny do množiny , pro které . Zobrazuje tedy definiční obor na celou cílovou množinu. Tedy ke každému prvku existuje aspoň jeden takový prvek , že .
Zobrazení množiny na množinu je takové zobrazení z množiny do množiny , pro které . Tedy ke každému prvku existuje právě jeden takový prvek , že , a ke každému prvku existuje aspoň jeden takový prvek , že .
Vzájemně jednoznačné zobrazení množin a neboli bijektivní zobrazení (bijekce) je prostým zobrazením množiny na množinu , je tedy injektivní a surjektivní zároveň.
Je-li prosté zobrazení z množiny do množiny , pak zobrazení z množiny do množiny , které každému přiřazuje ten prvek , pro nějž , se nazývá inverzní zobrazení k zobrazení . Jeho definičním oborem je tedy a platí .
Posloupnost je zobrazení z množiny přirozených čísel (zpravidla do jiné číselné množiny, v obecném smyslu i do jiných druhů objektů) – vzor udává pořadí obrazu.
Funkce (reálné či komplexní proměnné) je zobrazení v množině reálných či komplexních čísel.
Vektorová, tenzorová resp. maticová funkce je zobrazení z množiny (vektorového prostoru) vektorů, tenzorů resp. matic.
Mějme množiny a . Můžeme například definovat zobrazení jako
Oborem hodnot je tedy množina . Vzorem množiny je množina . Jeden prvek v tedy může mít více než jeden vzor v . Ale každý prvek se zobrazí na právě jeden prvek v .
Jak vyplývá z uvedené definice zobrazení, název víceznačné zobrazení je matematický oxymóron. Pojem se ale běžně užívá pro relaci, kde každému vzoru odpovídá alespoň jeden obraz. Víceznačné zobrazení
↑ abcdefghijkBARTSCH, Hans-Jochen, 1983. Matematické vzorce. Překlad TICHÝ, Zdeněk. 1. české (podle 17. originálního). vyd. Praha: SNTL – Nakladatelství technické literatury. 832 s. 04-020-83. Kapitola 0.4.6 Zobrazení, operace, funkce, s. 83–86.
↑ abcdREKTORYS, Karel, a kol. Přehled užité matematiky. 4. vyd. Praha: SNTL – Nakladatelství technické literatury, 1981. 1140 s. 04-003-81. Kapitola 1.23 Pojem množiny a pojem zobrazení, s. 73.