Zobrazení (matematika)

Zobrazení je v matematice předpis, jak přiřazovat prvkům nějaké množiny (vzorům) jednoznačně prvky obecně jiné množiny (obrazy). Jedná se o speciální případ binární relace, u které je zajištěna jednoznačnost obrazu ke každému vzoru.

Zobrazení je pojmem nejen teorie množin, ale představuje ústřední pojem i pro matematickou analýzu – funkce je totiž také druhem zobrazení.

Zobrazení z množiny do množiny

Nejobecnějším z hlediska množin, do kterých náleží vzory a obrazy, je zobrazení z množiny do množiny.

Definice

Zobrazení $f\,\!$ z množiny ${\mathcal {A}}$ do množiny ${\mathcal {B}}$ je taková binární relace, pro kterou platí, že ke každému prvku $x\,\!$ množiny ${\mathcal {A}}$ přiřazuje nejvýše jeden takový prvek $y\,\!$ množiny ${\mathcal {B}}$ tak, že $[x,y]\in f$.

Značení

$y=f(x)\,\!$ nebo $f:x\mapsto y\,\!$

Důležité pojmy

• Prvek $y=f(x)\in {\mathcal {B}}$ se nazývá obrazem prvku $x\,\!$ v zobrazení $f\,\!$ nebo také hodnotou zobrazení $f\,\!$ v bodě $x\,\!$. Podobně obraz množiny ${\mathcal {X}}\subseteq {\mathcal {A}}$ v zobrazení $f$ je množina ${\mathcal {Y}}\subseteq {\mathcal {B}}$, na kterou se zobrazí ${\mathcal {X}}$: ${\mathcal {Y}}=f({\mathcal {X}})$
• Prvek $x\in {\mathcal {A}}$ se nazývá vzorem prvku $y=f(x)\,\!$ v zobrazení $f\,\!$. Podobně vzor množiny ${\mathcal {Y}}$ v zobrazení $f$ je množina ${\mathcal {X}}\subseteq {\mathcal {A}}$ obsahující všechny prvky, které se do množiny ${\mathcal {Y}}$ zobrazí; značí se ${\mathcal {X}}=f^{-1}({\mathcal {Y}})$
• Množina právě těch prvků $x\in {\mathcal {A}}$, pro které existuje právě jeden takový prvek $y\in {\mathcal {B}}$, že $y=f(x)\,\!$, se nazývá definičním oborem zobrazení $f\,\!$ (též zkráceně oborem zobrazení či úplným vzorem zobrazení). Je to tedy množina všech vzorů. Značí se zpravidla jednou ze značek $D(f)={\mathcal {D}}_{f}=\mathrm {dom} \ f=\mathrm {dom} (f)\,\!$.
• Množina právě těch prvků $y\in {\mathcal {B}}$, pro které existuje aspoň jeden takový prvek $x\in {\mathcal {A}}$, že $f(x)=y\,\!$, se nazývá oborem hodnot zobrazení $f\,\!$ (též úplným obrazem zobrazení). Je to tedy množina všech obrazů, respektive obraz celého definičního oboru. Značí se zpravidla jednou ze značek $H(f)={\mathcal {H}}_{f}={\mathcal {R}}_{f}=\mathrm {rng} \ f=\mathrm {rng} (f)=f(D(f))=f({\mathcal {D}}_{f})$.

V teorii množin se tedy zobrazení definuje jako binární relace $f\,\!$ splňující podmínku existence a jednoznačnosti:

$\forall x\in D(f):\exists y([x,y]\in f)\ \land \ \forall (y_{1},y_{2})(([x,y_{1}]\in f\ \land \ [x,y_{2}]\in f)\Rightarrow y_{1}=y_{2})$.

Typy zobrazení

Podle pokrytí výchozí a cílové množiny

Zobrazení v množině

Zobrazení v množině ${\mathcal {A}}$ je takové zobrazení $f\,\!$ z množiny ${\mathcal {A}}$ do množiny ${\mathcal {B}}$, pro které ${\mathcal {A}}={\mathcal {B}}$, tedy výchozí a cílová množina jsou totožné.

Zobrazení množiny do množiny

$f:X\rightarrow Y$. Žlutý ovál uvnitř $Y$ je obor hodnot.

Zobrazení množiny ${\mathcal {A}}$ do množiny ${\mathcal {B}}$ je takové zobrazení $f\,\!$ z množiny ${\mathcal {A}}$ do množiny ${\mathcal {B}}$, pro které $D(f)={\mathcal {A}}$. Definičním oborem je tedy celá výchozí množina. Tedy ke každému prvku $x\in {\mathcal {A}}$ existuje (právě jeden) takový prvek $y\in {\mathcal {B}}$, že $y=f(x)\,\!$.

Značí se: $f:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$

Zobrazení z množiny na množinu

Zobrazení z množiny ${\mathcal {A}}$ na množinu ${\mathcal {B}}$ neboli surjektivní zobrazení (surjekce) je takové zobrazení $f\,\!$ z množiny ${\mathcal {A}}$ do množiny ${\mathcal {B}}$, pro které $H(f)={\mathcal {B}}$. Zobrazuje tedy definiční obor na celou cílovou množinu. Tedy ke každému prvku $y\in {\mathcal {B}}$ existuje aspoň jeden takový prvek $x\in {\mathcal {A}}$, že $f(x)=y\,\!$.

Zobrazení množiny na množinu

Zobrazení množiny ${\mathcal {A}}$ na množinu ${\mathcal {B}}$ je takové zobrazení $f\,\!$ z množiny ${\mathcal {A}}$ do množiny ${\mathcal {B}}$, pro které $D(f)={\mathcal {A}}\land H(f)={\mathcal {B}}$. Tedy ke každému prvku $x\in {\mathcal {A}}$ existuje právě jeden takový prvek $y\in {\mathcal {B}}$, že $y=f(x)\,\!$, a ke každému prvku $y'\in {\mathcal {B}}$ existuje aspoň jeden takový prvek $x'\in {\mathcal {A}}$, že $f(x')=y'\,\!$.

Zobrazení na množině

Zobrazení na množině ${\mathcal {A}}$ je takové zobrazení $f\,\!$ množiny ${\mathcal {A}}$ na množinu ${\mathcal {B}}$, pro které ${\mathcal {A}}={\mathcal {B}}$, tedy výchozí a cílová množina jsou totožné.

Zobrazení prosté, vzájemně jednoznačné a inverzní

Prosté zobrazení

Zobrazení f z množiny ${\mathcal {A}}$ do množiny ${\mathcal {B}}$ se nazývá prosté neboli injektivní zobrazení (injekce), právě když každé dva různé vzory $x_{1},x_{2}\ \in D(f)$ mají různé obrazy $y_{1}=f(x_{1}),y_{2}=f(x_{2})\in H(f)\,\!$:

$\forall [x_{1},y_{1}],[x_{2},y_{2}]\in f:x_{1}\neq x_{2}\ \Rightarrow \ y_{1}\neq y_{2}$

Vzájemně jednoznačné zobrazení

Vzájemně jednoznačné zobrazení množin ${\mathcal {A}}$ a ${\mathcal {B}}$ neboli bijektivní zobrazení (bijekce) je prostým zobrazením množiny ${\mathcal {A}}$ na množinu ${\mathcal {B}}$, je tedy injektivní a surjektivní zároveň.

Značí se: $f:{\mathcal {A}}\leftrightarrow {\mathcal {B}}$

Inverzní zobrazení

Je-li $f\,\!$ prosté zobrazení z množiny ${\mathcal {A}}$ do množiny ${\mathcal {B}}$, pak zobrazení $f^{-1}\,\!$ z množiny ${\mathcal {B}}$ do množiny ${\mathcal {A}}$, které každému $y\in H(f)\,\!$ přiřazuje ten prvek $f^{-1}(y)=x\in D(f)\,\!$, pro nějž $y=f(x)\,\!$, se nazývá inverzní zobrazení k zobrazení $f\,\!$. Jeho definičním oborem je tedy $D(f^{-1})=H(f)\,\!$ a platí $f^{-1}(y)=x\Leftrightarrow f(x)=y$.

Podle druhu vzorů a obrazů

Například:

• Posloupnost je zobrazení z množiny přirozených čísel (zpravidla do jiné číselné množiny, v obecném smyslu i do jiných druhů objektů) – vzor udává pořadí obrazu.
• Funkce (reálné či komplexní proměnné) je zobrazení v množině reálných či komplexních čísel.
• Vektorová, tenzorová resp. maticová funkce je zobrazení z množiny (vektorového prostoru) vektorů, tenzorů resp. matic.
• Funkcionál zobrazuje funkci na číslo.
• Operátor - funkci přiřazuje funkci.
• Třídové zobrazení - vzory i obrazy jsou množiny či třídy.

Další speciální typy

Například:

• Totožnost (identita) - každému prvku přiřadí tentýž prvek.
• Spojité zobrazení - k blízkým vzorům přiřazuje blízké obrazy.
• Lineární zobrazení - platí pro něj $L(\alpha x+\beta y)=\alpha L(x)+\beta L(y)$, kde $\alpha$ a $\beta$ jsou prvky daného tělesa a $x$ a $y$ jsou prvky vektorového prostoru nad tímto tělesem.
• Konformní zobrazení - spojité zobrazení, které zachovává úhly.

Příklad zobrazení

Příklady (popis v článku)

Mějme množiny ${\mathcal {A}}=\{1,2,3,4\}$ a ${\mathcal {B}}=\{a,b,c,d\}$. Můžeme například definovat zobrazení $f:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ jako

• $1\rightarrow a$
• $2\rightarrow c$
• $3\rightarrow d$
• $4\rightarrow c$

Oborem hodnot ${\mathcal {R}}_{f}=f({\mathcal {A}})$ je tedy množina $\{a,c,d\}$. Vzorem množiny $\{c\}$ je množina $\{2,4\}$. Jeden prvek v ${\mathcal {B}}$ tedy může mít více než jeden vzor v ${\mathcal {A}}$. Ale každý prvek ${\mathcal {A}}$ se zobrazí na právě jeden prvek v ${\mathcal {B}}$.

Na obrázku jsou uvedeny příklady vztahů $A\rightarrow B$.

• Na a) je příklad, kdy se nejedná o zobrazení.
• Na b) je příklad prostého zobrazení množiny $A$ do množiny $B$.
• Na c) je vzájemně jednoznačné zobrazení $A$ na $B$.
• Na d) je zobrazení, které není prosté.

Víceznačné zobrazení

Jak vyplývá z uvedené definice zobrazení, název víceznačné zobrazení je matematický oxymóron. Pojem se ale běžně užívá pro relaci, kde každému vzoru odpovídá alespoň jeden obraz. Víceznačné zobrazení

${\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$

lze převést na běžné jednoznačné zobrazení do potenční množiny B

${\mathcal {A}}\rightarrow 2^{\mathcal {B}}$^[zdroj?]

Víceznačná zobrazení jsou poměrně přirozený způsob, jak se vypořádat s inverzí od zobrazení, které není prosté. Například

$y=\pm {\sqrt {x}}$

Související články

• Binární relace
• Skládání zobrazení

Autoritní data: GND: 4149340-0