Prosté zobrazení

Prosté zobrazení, nebo také injektivní zobrazení, injekce, monomorfismus, je druh zobrazení mezi množinami, které různým vzorům (prvkům) přiřazuje různé obrazy. Nestane se tedy, že by jeden obraz měl několik různých vzorů a jeden vzor více obrazů. K prostému zobrazení existuje inverzní zobrazení.

Každá ryze monotónní funkce je prostá.
Na rozdíl od "zobrazení na", prosté zobrazení nemusí být definováno pro všechny obrazy a vzory, tedy mohou existovat prvky cílové množiny, které nemají svůj vzor.

Prosté zobrazení

DefiniceEditovat

Zobrazení $f:X\rightarrow Y$ nazýváme prosté (injektivní), jestliže platí implikace:

\forall (x_{1},x_{2}\in X):(x_{1}\neq x_{2})\implies (f(x_{1})\neq f(x_{2}))

.

Někdy se uvádí ekvivalentní definice s implikací v kontrapozici:

\forall (x_{1},x_{2}\in X):(f(x_{1})=f(x_{2}))\implies (x_{1}=x_{2})

.

Můžeme tedy vytvořit inverzní zobrazení.

ZnačeníEditovat

V anglické literatuře je prosté zobrazení často označováno one to one (jeden ku jednomu), proto se občas setkáme jen s označeným 1-1.

Také se využívá rozlišení pomocí úpravy grafického symbolu šipky mezi množinami: $f:X\rightarrowtail Y$ ^[zdroj?] nebo $f:X\hookrightarrow Y$ ^[1] namísto zápisu dále nespecifikovaného zobrazení: $f:X\rightarrow Y$ .

PříkladyEditovat

Reálná funkce $f(x)=2x+1$ je prostá, protože pokud $f(x)=f(y)$ , platí i $2x+1=2y+1$ , tedy $x=y$ .
Reálné funkce $e^{x}$ a $\ln x$ jsou prosté.
Reálná funkce $g(x)=x^{2}$ prostá není, neboť např. $1=g(-1)=g(1)$ . Pokud ale funkci $g$ omezíme na interval $[0,\infty )$ , je g prostá.
Lineární zobrazení je prosté, právě když determinant odpovídající matice je nenulový.
Periodické funkce obecně nejsou prosté. (V závislosti na dané funkci je možné aby byla prostá, pokud ji omezíme na interval délky jedné periody nebo kratší.)
Cyklometrické funkce jsou definovány jako inverzní ke goniometrickým vzatých na intervalu jedné periody, tudíž prosté jsou.
Každá striktně monotónní funkce (tj. rostoucí nebo klesající) je prostá.
Sudá funkce nemůže být prostá.
V teorii pravděpodobnosti distribuční funkce je prostá, ale hustota pravděpodobnosti pro reálnou náhodnou veličinu není.