Prosté zobrazení

Prosté zobrazení, nebo také injektivní zobrazení, injekce, monomorfismus, je druh zobrazení mezi množinami, které různým vzorům (prvkům) přiřazuje různé obrazy. Nestane se tedy, že by jeden obraz měl několik různých vzorů a jeden vzor více obrazů. K prostému zobrazení existuje inverzní zobrazení.

Každá ryze monotónní funkce je prostá.
Na rozdíl od "zobrazení na", prosté zobrazení nemusí být definováno pro všechny obrazy a vzory, tedy mohou existovat prvky cílové množiny, které nemají svůj vzor.

DefiniceEditovat

Zobrazení $f:X\rightarrow Y$ nazýváme prosté (injektivní), jestliže platí implikace:

\forall (x_{1},x_{2}\in X):(x_{1}\neq x_{2})\implies (f(x_{1})\neq f(x_{2}))

.

Můžeme tedy vytvořit inverzní zobrazení.

ZnačeníEditovat

V anglické literatuře je prosté zobrazení často označováno one to one (jeden ku jednomu), proto se občas setkáme jen s označeným 1-1.

Také se využívá rozlišení pomocí úpravy grafického symbolu šipky mezi množinami: $f:X\rightarrowtail Y$ ^[zdroj?] nebo $f:X\hookrightarrow Y$ ^[1] namísto zápisu dále nespecifikovaného zobrazení: $f:X\rightarrow Y$ .

PříkladyEditovat

Reálná funkce $f(x)=2x+1$ je prostá, protože pokud $f(x)=f(y)$ , platí i $2x+1=2y+1$ , tedy $x=y$ .
Reálná funkce $g(x)=x^{2}$ prostá není, neboť např. $1=g(-1)=g(1)$ . Pokud ale funkci $g$ omezíme na interval $[0,\infty )$ , je g prostá.
Zobrazení roviny do prostoru - všechny prvky roviny budou zobrazeny v prostoru (bude se dát jednoznačně určit jakým prvkem byly v původní rovině), prostor jimi však nebude pokryt celý.