Otevřít hlavní menu

Sudé a liché funkce

(přesměrováno z Sudá funkce)

V matematice se některé funkce označují jako sudé, některé jako liché funkce. Takové funkce vykazují jisté druhy symetrie, označované jako parita (souhrnný název pro sudost a lichost) funkce. Existuje však mnoho funkcí, které nejsou ani liché, ani sudé.

Sudé funkceEditovat

 
Sudá funkce: y = x2

Funkce   je sudá funkce, pokud pro všechna  , pro která je   definováno, je definováno i   a platí  .

To právě znamená, že graf sudé funkce je osově souměrný podle osy y.

Mezi sudé funkce patří všechny mocninné funkce se sudým mocnitelem (např. x2, x−4), dále také například konstantní funkce, absolutní hodnota nebo kosinus (i hyperbolický). Složitějším příkladem sudé funkce je Dirichletova funkce.

Liché funkceEditovat

 
Lichá funkce: y = x3

Funkce   je lichá funkce, pokud pro všechna  , pro která je   definováno, je definováno i   a platí  .

To právě znamená, že graf liché funkce je středově souměrný podle počátku soustavy souřadnic.

Mezi liché funkce patří všechny mocninné funkce s lichým mocnitelem (např. x, x3, 1/x), dále také např. znaménková funkce sgn, sinus a tangens (i hyperbolické), stejně jako funkce k nim inverzní, tzn. cyklometrické funkce  ,   a hyperbolometrické  ,  .

VlastnostiEditovat

Základní vlastnostiEditovat

  • Pokud je lichá funkce definovaná v počátku, tak tam musí mít funkční hodnotu 0.
  • Funkce, která je zároveň sudá i lichá, je jedině nulová funkce f(x) = 0 (s definičním oborem symetrickým kolem nuly).
  • Sudá funkce nemůže být ryze monotónní (ledaže by byla triviálně definovaná jen v počátku).
  • Součet dvou sudých funkcí je sudá funkce, konstantní násobek sudé funkce je taktéž sudá funkce.
  • Součet dvou lichých funkcí je lichá funkce, konstantní násobek liché funkce je taktéž lichá funkce.
  • Součet liché a sudé funkce není ani lichá ani sudá funkce, ledaže by jeden ze sčítanců byla nulová funkce (viz níže rozklad na sudou a lichou část).
  • Součin dvou sudých funkcí je sudá funkce, součin dvou lichých funkcí je také sudá funkce.
  • Součin liché funkce a sudé funkce je lichá funkce.
  • Inverzní funkce k liché funkci je lichá funkce.
  • Složená funkce s vnitřní funkcí sudou a libovolnou vnější funkcí je sudá. Složená funkce s vnitřní funkcí lichou je lichá pro vnější funkci lichou a sudá pro vnější funkci sudou.

Algebraické vlastnostiEditovat

  • Lineární kombinace sudých funkcí je sudá funkce, sudé funkce tvoří vektorový prostor nad reálnými čísly. Obdobně je lineární kombinace lichých funkcí lichá funkce a liché funkce tvoří vektorový prostor nad reálnými čísly.
  • Vektorový prostor všech reálných funkcí je direktní součet vektorových prostorů sudých a lichých funkcí, tzn. libovolnou funkci (s definičním oborem symetrickým kolem nuly) lze jednoznačně rozložit na součet sudé a liché funkce:
 

Např. přirozená exponenciála se takto rozkládá na svou sudou část – hyperbolický kosinus a lichou část – hyperbolický sinus:

 
  • Množina sudých funkcí tvoří nad reálnými čísly algebru, množina lichých funkcí nikoliv.

Analytické vlastnostiEditovat

  • Derivace sudé funkce je lichá funkce, derivace liché funkce je sudá funkce.
  • Libovolná primitivní funkce k liché funkci definované na intervalu je sudá funkce, ale nejvýše jedna primitivní funkce k sudé funkci může být lichá.
  • Taylorův polynom sudé funkce v počátku obsahuje pouze sudé mocniny, u liché funkce obsahuje pouze liché mocniny.
  • Taylorova řada sudé funkce v počátku (tj. Maclaurinova řada) obsahuje pouze sudé mocniny, u liché funkce obsahuje pouze liché mocniny.
  • Fourierova řada periodické sudé funkce obsahuje pouze kosinové členy, Fourierova řada periodické liché funkce obsahuje pouze sinové členy.

Související článkyEditovat