Hyperbolický sinus

Hyperbolický sinus (sinh) je hyperbolická funkce. Je to vlastně lichá část přirozené exponenciály.

Hyperbolický sinus (červeně) a kosinus (modře)

Definice

$\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$

Vlastnosti

• Definiční obor: $\mathbb {R}$
• Obor hodnot: $\mathbb {R}$
• Je to lichá funkce:

$\sinh(-x)=-\sinh x$

• $\sinh x=-i\sin ix$, kde $i$ je Imaginární jednotka.
• ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sinh x=\cosh x$, kde $\cosh x$ je hyperbolický kosinus.
• $\int \sinh x\mathrm {d} x=\cosh x+C$, kde $C$ je integrační konstanta.
• $\sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\;{\mbox{ pro }}x\in (-\infty ,\infty )$.
• $\sinh 0=0$
• $\sinh(\ln \phi )={\frac {1}{2}}$, kde $\phi$ je zlatý řez.

Externí odkazy

• (anglicky)Hyperbolický sinus na MathWorld