Otevřít hlavní menu

matematice označuje pojem absolutní hodnota čísla x nezáporné reálné číslo, které lze chápat jako velikost či vzdálenost čísla od nuly. Konkrétně |x| = x pro kladné x, |x| = −x pro záporné x a |0| = 0. Například absolutní hodnota čísla 3 je 3 a absolutní hodnota čísla −3 je také 3.

Absolutní hodnota je definována například i pro komplexní čísla, kvaterniony či vektorové prostory. Absolutní hodnota je úzce spjata s pojmy velikost, vzdálenost a norma v různých matematických a fyzikálních souvislostech.

Zápis |x| s x mezi svislicemi představil Karl Weierstrass v roce 1841. Stejný zápis se užívá taktéž k označení mohutnosti.

Definice a vlastnostiEditovat

Reálná číslaEditovat

Absolutní hodnota reálného čísla a je definována následovně:

 

Jak je patrné z výše uvedené definice, absolutní hodnota x je vždy kladná, nebo nula, ale nikdy záporná. Geometrický význam absolutní hodnoty reálného čísla je vzdálenost obrazu čísla na reálné ose od počátku – obrazu nuly.

Absolutní hodnota reálných čísel se někdy definuje také jako

 

a má následující vlastnosti:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.   (trojúhelníková nerovnost)
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.   (kde b ≠ 0)
  10.  

Další dvě užitečné vlastnosti týkající se nerovnosti jsou:

 

 

Tyto vztahy se často používají pro řešení nerovnic s absolutní hodnotou.

Například:
 

 

Pro reálná čísla je funkce

 

spojitá ve všech bodech a diferencovatelná ve všech bodech kromě x = 0. Pro komplexní čísla je absolutní hodnota spojitá ve všech bodech, ale není diferencovatelná v žádném bodě.

Absolutní hodnota není (ve svém maximálním definičním oboru) prostá funkce, protože čísla x a −x mají stejnou absolutní hodnotu.

Komplexní číslaEditovat

Absolutní hodnota komplexního čísla je definována jako jeho vzdálenost od počátku v Gaussově rovině.

Pro komplexní číslo

 , kde a a b jsou reálná čísla

definujeme absolutní hodnotu jako

 .

Pokud imaginární část b je rovna nule, pak je absolutní hodnota komplexního rovna absolutní hodnotě reálného čísla a.

Pokud je komplexní číslo v exponenciálním (polárním) tvaru jako

  kde r ≥ 0 a θ náleží reálným číslům

absolutní hodnota je

 .

Absolutní hodnota komplexního čísla může být definována také jako

 , kde z s pruhem je číslo komplexně sdružené k z.

Komplexní absolutní hodnota má všechny vlastnosti reálné absolutní hodnoty uvedené v rovnicích (1) až (10) výše.

KvaterninonyEditovat

Pro kvaternion h lze definovat jeho absolutní hodnotu neboli normu jako  

Kvaterninon v algebraickém tvaru h=a+bi+cj+dk má normu  

VektoryEditovat

Absolutní hodnota (častěji norma) nebo délka vektoru z trojrozměrného euklidovského prostoru   je dána výrazem  

Pomocí souřadnic vektoru   v ortonormální bázi je jeho norma dána výrazem

 

Pomocí skalárního součinu lze normu přirozeně obecně definovat jako  

Pro normu vektoru se někdy používá spíše označení ||x||, aby se zdůraznilo, že argumentem normy není číslo, ale vektor.

Abstraktně se norma na komplexním vektorovém prostoru   zavádí jako reálná funkce těmito požadavky:

  •   (nezápornost),
  •   (definitnost),
  •   (homogenita),
  •   (trojúhelníková nerovnost),

pro všechny  

ProstoryEditovat

Základní vlastnosti absolutní hodnoty pro reálná čísla (1. až 5. uvedené výše) mohou být použity k zobecnění absolutní hodnoty v libovolném prostoru, a to následovně.

Reálná funkce v v poli F se nazývá absolutní hodnota, pokud splňuje tyto čtyři axiomy:

 

 

 

 

Reálná a komplexní absolutní hodnota jsou příklady absolutních hodnot pro libovolné pole.

Jestliže v je absolutní hodnota F, pak funkce d na F × F, kde d(a, b) = v(a − b), je metrikou a platí následující:

  • d splňuje nerovnost   pro všechna x,y,z, jež náleží F
  •   je omezená v R
  •   pro každé  
  •   pro všechna  
  •   pro všechna  

Funkce absolutní hodnotaEditovat

 
Graf funkce absolutní hodnoty reálného čísla

Funkce reálné absolutní hodnoty je spojitá, klesající na intervalu (− , 0] a rostoucí na intervalu [0, + ). Vzhledem k tomu, že reálné číslo a číslo opačné k němu mají stejnou absolutní hodnotu, je funkce absolutní hodnoty sudá.

Vztah absolutní hodnoty k funkci signumEditovat

Pro definici absolutní hodnoty za pomoci funkce signum si nejprve stručně definujme funkci signum. Jedná se o matematickou funkci, která libovolnému číslu x přiřazuje hodnoty jedna, nula nebo mínus jedna podle následujícího:

 

 

 

Podle výše uvedeného jsme schopni definovat absolutní hodnotu:

 

nebo

 

a pro x ≠ 0,

 

První vzorec nám tedy říká, že absolutní hodnotu čísla x vypočteme jako součin čísla x a znaménka, které mu určuje funkce signum.

DerivaceEditovat

Funkce absolutní hodnoty má derivaci v x ≠ 0, ale nelze ji derivovat v x = 0. Její derivaci pro x ≠ 0 určuje jednotkový skok

 

Druhá derivace |x| podle x je nula všude kromě x=0, kde neexistuje.

Neurčitý integrálEditovat

Neurčitý integrál (primitivní funkce) funkce absolutní hodnoty je:

  kde C je libovolná integrační konstanta.

VzdálenostEditovat

Absolutní hodnota úzce souvisí s myšlenkou vzdálenosti. Jak bylo uvedeno výše, absolutní hodnota reálného nebo komplexního čísla je vzdálenost čísla od počátku (na reálné ose pro reálná čísla, v komplexní rovině pro komplexní čísla). Obecně je absolutní hodnota rozdílu dvou skutečných nebo komplexních čísel vzdálenost mezi nimi.

Standardní eukleidovská metrika mezi dvěma body

 

a

 

je v eukleidovském prostoru definována jako

 

Absolutní hodnotu rozdílu |a − b|, kde a i b jsou reálná čísla, lze vyjádřit jako

 

Zatímco absolutní hodnotu rozdílu |a − b|, kde a i b jsou komplexní čísla

  a   , pak

 

 

 

ZobecněníEditovat

Reálné zobrazení   se nazývá metrika, jestliže splňuje tyto čtyři axiomy (pro libovolná  ):