Absolutní hodnota

Absolutní hodnota vyjadřuje vzdálenost obrazu čísla na číselné ose od nuly[1] a značí se dvěma svislými čarami: . Absolutní hodnota čísla je vždy číslo nezáporné, tedy větší nebo rovno nule. Absolutní hodnota z kladného čísla je stejné číslo (; např. ). Absolutní hodnota ze záporného čísla je číslo opačné (; např. ). Absolutní hodnota z nuly je nula.

Zápis || s mezi svislicemi představil Karl Weierstrass v roce 1841.[2] Stejný zápis se užívá taktéž k označení mohutnosti.

Definice a vlastnostiEditovat

Reálná číslaEditovat

Absolutní hodnota reálného čísla   je definována následovně:

 

Jak je patrné z výše uvedené definice, absolutní hodnota čísla   je vždy nezáporné číslo.

Pro každé reálné číslo platí:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.   (trojúhelníková nerovnost)
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  
  10.   (pro b ≠ 0)
  11.  

Absolutní hodnota v nerovnosti:

 

 

Tyto vztahy se často používají pro řešení nerovnic s absolutní hodnotou.

Například:
 

 

Absolutní hodnota funkce   je funkce označována  , jejíž funkční hodnoty jsou rovny   a která má definiční obor  .

Podle definice absolutní hodnoty reálného čísla je:

 

Funkce s absolutní hodnotou může představovat jakoukoli funkci (lineární, kvadratickou, logaritmickou, goniometrickou atd.). Pokud obsahuje absolutní hodnotu, spadá do množiny funkcí s absolutní hodnotou.[3]

Pro reálná čísla je definována funkce:  

 
Graf funkce absolutní hodnoty reálného čísla

Vlastnosti:

  •  
  •  ;
  • klesající v intervalu   ;
  • rostoucí v intervalu  ;
  • je zdola omezená, shora omezená není;
  • v bodě 0 má minimum, nemá maximum;
  • spojitá ve všech bodech a diferencovatelná ve všech bodech kromě   = 0.

Komplexní číslaEditovat

Absolutní hodnota komplexního čísla   je rovna vzdálenosti bodu, který je obrazem tohoto čísla v Gaussově rovině, od počátku soustavy souřadnic. Všechna komplexní čísla  , která mají stejnou absolutní hodnotu, vyplní v Gaussově rovině kružnici se středem v počátku a s poloměrem rovným číslu  . Absolutní hodnoty komplexních čísel   jsou v Gaussově rovině rovny vzdálenostem obrazů komplexních čísel   od počátku soustavy souřadnic.

Absolutní hodnota komplexního číslo  , kde   a   je reálné číslo definované vztahem:   kde  

Vlastnosti:

  • Imaginární část   komplexního čísla je rovna nule, pak je absolutní hodnota komplexního rovna absolutní hodnotě reálného čísla  .
  • Pokud je komplexní číslo v exponenciálním (polárním) tvaru jako   kde r ≥ 0 a θ náleží reálným číslům absolutní hodnota je  .
  •  , kde z s pruhem je číslo komplexně sdružené k  .
  • Absolutní hodnota komplexního čísla má vlastnosti reálné absolutní hodnoty uvedené výše v rovnicích (1) až (11).
  • Pro komplexní čísla je absolutní hodnota spojitá ve všech bodech, ale není diferencovatelná v žádném bodě.

KvaterninonyEditovat

viz také kvaternion

Definice normy kvaternionu:  

Norma kvaterninonu, zapsaná v algebraickém tvaru   je dána definicí:  , kde kde  ,  ,   a   jsou reálná čísla.

VektoryEditovat

viz také vektor

Absolutní hodnota (norma) nebo délka vektoru v trojrozměrném euklidovském prostoru   je definována výrazem  

Pomocí souřadnic vektoru   v ortonormální bázi je jeho norma dána výrazem:  

Definice vyjádřena skalárním součinem:  

Pro normu vektoru se používá označení ||x||, ke zdůraznění, že argumentem normy není číslo, ale vektor.

Abstraktně se norma na komplexním vektorovém prostoru   zavádí jako reálná funkce těmito požadavky:

  •   (nezápornost),
  •   (definitnost),
  •   (homogenita),
  •   (trojúhelníková nerovnost),

pro všechny  

ProstoryEditovat

Základní vlastnosti absolutní hodnoty pro reálná čísla (viz 1. až 5. - reálná čísla) lze použít k zobecnění absolutní hodnoty v libovolném prostoru.

Absolutní hodnota reálná funkce v v poli F platí, pokud splňuje tyto čtyři axiomy:

  •  
  •  
  •  
  •  

Absolutní hodnotu reálných a komplexních čísel je možno uvést jako příklady absolutních hodnot pro libovolné pole.

Jestliže v je absolutní hodnota F, pak funkce d na F × F, kde d(a, b) = v(a − b), je metrikou a platí následující:

  • d splňuje nerovnost   pro všechna x,y,z, jež náleží F
  •   je omezená v R
  •   pro každé  
  •   pro všechna  
  •   pro všechna  

Vztah absolutní hodnoty k funkci signumEditovat

viz také funkce signum

Signum je matematická funkce reálné nebo komplexní proměnné; která je definována pro:

 

 

 

Na základě definice funkce je definována absolutní hodnota:

  nebo   a pro x ≠ 0,

 

První vzorec nám tedy říká, že absolutní hodnotu čísla x vypočteme jako součin čísla x a znaménka, které mu určuje funkce signum.

DerivaceEditovat

Funkce absolutní hodnoty má derivaci v x ≠ 0, nelze ji derivovat v x = 0. Její derivaci pro x ≠ 0 určuje jednotkový skok

 

Druhá derivace |x| podle x je nula mimo hodnoty pro x=0, kde neexistuje.

Neurčitý integrálEditovat

Neurčitý integrál (primitivní funkce) funkce absolutní hodnoty je:

  kde C je libovolná integrační konstanta.

VzdálenostEditovat

Absolutní hodnota úzce souvisí s myšlenkou vzdálenosti. Jak bylo uvedeno výše, absolutní hodnota reálného nebo komplexního čísla je vzdálenost čísla od počátku (na reálné ose pro reálná čísla, v komplexní rovině pro komplexní čísla). Obecně je absolutní hodnota rozdílu dvou skutečných nebo komplexních čísel vzdálenost mezi nimi.

Standardní eukleidovská metrika mezi dvěma body

 

a

 

je v eukleidovském prostoru definována jako

 

Absolutní hodnotu rozdílu |a − b|, kde a i b jsou reálná čísla, lze vyjádřit jako

 

Zatímco absolutní hodnotu rozdílu |a − b|, kde a i b jsou komplexní čísla

  a   , pak

 

 

 

ZobecněníEditovat

Reálné zobrazení   se nazývá metrika, jestliže splňuje tyto čtyři axiomy (pro libovolná  ):

 

 

 

 

ReferenceEditovat

  1. ČERMÁK, Pavel. Odmaturuj! z matematiky. Vyd. 2., (opr.). vyd. Brno: Didaktis 208 s. s. Dostupné online. ISBN 80-86285-97-9, ISBN 978-80-86285-97-9. OCLC 53261459 
  2. Karl Weierstrass - Biography. Maths History [online]. [cit. 2021-02-16]. Dostupné online. (anglicky) 
  3. DOLEŽALOVÁ, Lucie. Absolutní hodnota v učivu matematiky střední školy [online]. Brno: 2015 [cit. 2021-02-16]. Dostupné online. 

Externí odkazyEditovat