Absolutní hodnota

Absolutní hodnota je matematický pojem, který souvisí s pojmy velikosti a vzdálenosti. Vyjadřuje vzdálenost obrazu čísla na číselné ose od nuly a značí se dvěma svislými čarami: $|x|$. Absolutní hodnota čísla je vždy číslo nezáporné, tedy větší nebo rovno nule. Absolutní hodnota z kladného čísla je stejné číslo ($|x|=x$; např. $|3|=3$). Absolutní hodnota ze záporného čísla je číslo opačné ($|-x|=x$; např. $|-3|=3$). Absolutní hodnota z nuly je nula.

Zápis |$x$| s $x$ mezi svislicemi představil Karl Weierstrass v roce 1841. Stejný zápis se užívá taktéž k označení mohutnosti.

Definice a vlastnosti

Reálná čísla

Absolutní hodnota reálného čísla $a$ je definována následovně:

$|a|={\begin{cases}a,&{\mbox{pokud }}a\geq 0\\-a,&{\mbox{pokud }}a<0\end{cases}}$

Jak je patrné z výše uvedené definice, absolutní hodnota čísla $a$ je vždy nezáporné číslo.

Pro každé reálné číslo platí:

1. $|a|={\sqrt {a^{2}}}$
2. $|a|\geq 0$
3. $|a|=0\Leftrightarrow a=0$
4. $|ab|=|a|.|b|$
5. $|a+b|\leq |a|+|b|$ (trojúhelníková nerovnost)
6. $|(|a|)|=|a|$
7. $|-a|=|a|$
8. $|a-b|=0\Leftrightarrow a=b$
9. $|a-b|\leq |a-c|+|c-b|$
10. ${\bigg |}{\frac {a}{b}}{\bigg |}={\frac {|a|}{|b|}}$ (pro b ≠ 0)
11. $\ |a-b|\geq {\Big |}(|a|-|b|){\Big |}$

Absolutní hodnota v nerovnosti:

$\ |a|\leq b\Leftrightarrow -b\leq a\leq b$

$\ |a|\geq b\Leftrightarrow a\leq -b\lor b\leq a$

Tyto vztahy se často používají pro řešení nerovnic s absolutní hodnotou.

Například:
$|x-3|\leq 9\Leftrightarrow -9\leq x-3\leq 9$

$\Leftrightarrow -6\leq x\leq 12$

Absolutní hodnota funkce ${\textstyle |f|:y=|f(x)|,x\in D(f)\subset R}$ je funkce označovaná $|f|$, jejíž funkční hodnoty jsou rovny $|f(x)|$ a která má definiční obor $D(|f|)=D(f)$.

Podle definice absolutní hodnoty reálného čísla je:

$|f|:y=|f(x)|=\{{\begin{aligned}&f(x),&{\text{pro}}\;f(x)\geq 0,\\&-f(x),&{\text{pro}}\;f(x)<0\\\end{aligned}}$

Funkce s absolutní hodnotou může představovat jakoukoli funkci (lineární, kvadratickou, logaritmickou, goniometrickou atd.). Pokud obsahuje absolutní hodnotu, spadá do množiny funkcí s absolutní hodnotou.

Pro reálná čísla je definována funkce: $\ f(x)=|x|.$

Graf funkce absolutní hodnoty reálného čísla

Vlastnosti:

• $D(f)=R;$
• $H(f)=\langle 0,\infty {\bigr )}$;
• klesající v intervalu ${\bigl (}-\infty ,0\rangle$ ;
• rostoucí v intervalu $\langle 0,\infty )$;
• je zdola omezená, shora omezená není;
• v bodě 0 má minimum, nemá maximum;
• spojitá ve všech bodech a diferencovatelná ve všech bodech kromě $x$ = 0.

Komplexní čísla

Absolutní hodnota komplexního čísla $|z|$ je rovna vzdálenosti bodu, který je obrazem tohoto čísla v Gaussově rovině, od počátku soustavy souřadnic. Všechna komplexní čísla $z$, která mají stejnou absolutní hodnotu, vyplní v Gaussově rovině kružnici se středem v počátku a s poloměrem rovným číslu $|z|$. Absolutní hodnoty komplexních čísel $|z_{1}|,|z_{2}|,|z_{1}+z_{2}|,|z_{1}-z_{2}|$ jsou v Gaussově rovině rovny vzdálenostem obrazů komplexních čísel $z_{1},z_{2},z_{1}+z_{2},z_{1}-z_{2}$ od počátku soustavy souřadnic.

Absolutní hodnota komplexního čísla $\ z=a+bi$, kde $a$ a $b$ jsou reálná čísla, je definována vztahem: $|z|={\sqrt {z.{\bar {z}}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},$ kde ${\bar {z}}=a-bi.$

Vlastnosti:

• Imaginární část $b$ komplexního čísla je rovna nule, pak je absolutní hodnota komplexního rovna absolutní hodnotě reálného čísla $a$.
• Pokud je komplexní číslo v exponenciálním (polárním) tvaru jako $z=re^{i\theta }$ kde r ≥ 0 a θ náleží reálným číslům absolutní hodnota je $|z|=r$.
• $|z|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}$, kde z s pruhem je číslo komplexně sdružené k $z$.
• Absolutní hodnota komplexního čísla má vlastnosti reálné absolutní hodnoty uvedené výše v rovnicích (2) až (11).
• Pro komplexní čísla je absolutní hodnota spojitá ve všech bodech, ale není diferencovatelná v žádném bodě.

Kvaterniony

viz také kvaternion

Definice normy kvaternionu: $|h|={\sqrt {hh^{*}}},$ kde $h^{*}=a-bi-cj-dk.$

Norma kvaterninonu, zapsaná v algebraickém tvaru $h=a+bi+cj+dk$ je dána definicí: $|h|={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}$, kde kde $a$, $b$, $c$ a $d$ jsou reálná čísla.

Vektory

viz také vektor

Absolutní hodnota (norma) nebo délka vektoru v trojrozměrném euklidovském prostoru ${\mbox{x}}=(x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}$ je definována výrazem $\left|{\mbox{x}}\right|={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}}.$

Pomocí souřadnic vektoru ${\mbox{x}}\in \mathbb {C} ^{n}$ v ortonormální bázi je jeho norma dána výrazem: $\left|{\mbox{x}}\right|={\sqrt {|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}+...+|x_{n}|^{2}}}.$

Definice vyjádřena skalárním součinem: $\left|{\mbox{x}}\right|={\sqrt {{\mbox{x}}\cdot {\mbox{x}}}}.$

Pro normu vektoru se používá označení ||x||, ke zdůraznění, že argumentem normy není číslo, ale vektor.

Abstraktně se norma na komplexním vektorovém prostoru $V$ zavádí jako reálná funkce těmito požadavky:

• $|x|\geq 0$ (nezápornost),
• $|x|=0\leftrightarrow x=0$ (definitnost),
• $|\lambda x|=|\lambda |.|x|$ (homogenita),
• $|x+y|\leq |x|+|y|$ (trojúhelníková nerovnost),

pro všechny $x,y\in V,\lambda \in \mathbb {C} .$

Prostory

Základní vlastnosti absolutní hodnoty pro reálná čísla (viz 2. až 5. - reálná čísla) lze použít k zobecnění absolutní hodnoty v libovolném prostoru.

Absolutní hodnota reálná funkce v v poli F platí, pokud splňuje tyto čtyři axiomy:

• $v(a)\geq 0$
• $v(a)=0\iff a=\mathbf {0}$
• $v(ab)=v(a)v(b)$
• $v(a+b)\leq v(a)+v(b)$

Absolutní hodnotu reálných a komplexních čísel je možno uvést jako příklady absolutních hodnot pro libovolné pole.

Jestliže v je absolutní hodnota F, pak funkce d na F × F, kde d(a, b) = v(a − b), je metrikou a platí následující:

• d splňuje nerovnost $d(x,y)\leq \max(d(x,z),d(y,z))$ pro všechna x, y, z, jež náleží F
• ${\big \{}v{\Big (}{\textstyle \sum _{k=1}^{n}}\mathbf {1} {\Big )}:n\in \mathbb {N} {\big \}}$ je omezená v R

• $v{\Big (}{\textstyle \sum _{k=1}^{n}}\mathbf {1} {\Big )}\leq 1\$ pro každé $n\in \mathbb {N} .$
• $v(a)\leq 1\Rightarrow v(1+a)\leq 1\$ pro všechna $a\in F.$
• $v(a+b)\leq \mathrm {max} \{v(a),v(b)\}\$ pro všechna $a,b\in F.$

Vztah absolutní hodnoty k funkci signum

Pomocí znaménkové funkce signum lze vyjádřit absolutní hodnotu jako

$|x|=x\cdot \operatorname {sgn} x.$

Platí také

$x=|x|\cdot \operatorname {sgn} x.$

Derivace

Funkce absolutní hodnoty má konstantní derivaci pro x≠0, v bodě x=0 neexistuje:

${\frac {d|x|}{dx}}={\begin{cases}-1&x<0\\1&x>0.\end{cases}}$

Platí tedy

${\frac {d|x|}{dx}}={\frac {|x|}{x}}=\operatorname {sgn} x.$

Druhá derivace |x| je nula mimo hodnoty pro x=0, kde neexistuje.

Neurčitý integrál

Neurčitý integrál (primitivní funkce) funkce absolutní hodnoty je:

$\int |x|dx={\frac {x|x|}{2}}={\frac {x^{2}}{2}}\operatorname {sgn} x.$

Vzdálenost

Absolutní hodnota úzce souvisí s myšlenkou vzdálenosti. Jak bylo uvedeno výše, absolutní hodnota reálného nebo komplexního čísla je vzdálenost čísla od počátku (na reálné ose pro reálná čísla, v komplexní rovině pro komplexní čísla). Obecně je absolutní hodnota rozdílu dvou skutečných nebo komplexních čísel vzdálenost mezi nimi.

Standardní eukleidovská metrika mezi dvěma body

$a=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$

a

$b=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})$

je v eukleidovském prostoru definována jako

${\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.$

Absolutní hodnotu rozdílu |a − b|, kde a i b jsou reálná čísla, lze vyjádřit jako

$|a-b|={\sqrt {(a-b)^{2}}}.$

Zatímco absolutní hodnotu rozdílu |a − b|, kde a i b jsou komplexní čísla

$a=a_{1}+ia_{2}$ a $b=b_{1}+ib_{2}$ , pak

$|a-b|=|(a_{1}+ia_{2})-(b_{1}+ib_{2})|$

$=|(a_{1}-b_{1})+i(a_{2}-b_{2})|$

$={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}}}.$

Zobecnění

Reálné zobrazení $d:{\mathcal {M}}\times {\mathcal {M}}\rightarrow \mathbb {R}$ se nazývá metrika, jestliže splňuje tyto čtyři axiomy (pro libovolná $a,b,c\in {\mathcal {M}}$):

$d(a,b)\geq 0$

$d(a,b)=0\iff a=b$

$d(a,b)=d(b,a)$

$d(a,b)\leq d(a,c)+d(c,b)$

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu absolutní hodnota na Wikimedia Commons

Portály: Matematika