Otevřít hlavní menu

V matematice jsou kvaterniony (z lat. quaternion, čtveřice) nekomutativní rozšíření oboru komplexních čísel. Lze je definovat jako uspořádané čtveřice reálných čísel se speciálně definovanými operacemi sčítání a násobení.

Poprvé byly kvaterniony popsány Williamem Rowanem Hamiltonem v roce 1843. Nejdříve byly považovány za nevhodný a uměle vykonstruovaný objekt, jelikož porušovaly komutativní zákon, postupně ale našly uplatnění jak v teoretické fyzice, tak v aplikované matematice (přestože mnohdy se jejich použití lze za jistou cenu vyhnout s pomocí vektorů).

Obsah

DefiniceEditovat

Zatímco komplexní čísla jsou vytvořena z reálných čísel přidáním prvku i splňujícího i2 = −1, kvaterniony jsou vytvořeny přidáním prvků i, j a k tak, že jsou splněny následující vztahy.

 
 

Každý kvaternion je lineární kombinací prvků 1, i, j a k, což znamená, že jej lze psát jako a + bi + cj + dk kde a, b, c a d jsou reálná čísla.

PříkladEditovat

Nechť

 

Pak (při násobení se využívají vztahy uvedené výše)

 

Základní vlastnostiEditovat

Množina kvaternionů se v matematice obvykle značí písmenem   (podle objevitele Hamiltona), ℍ v Unicode .

Kvaterniony jsou asociativní algebra s dělením nad tělesem reálných čísel. Je na nich definováno (pravé a levé) dělení a jako množina spolu se sčítáním, násobením a dělením tvoří těleso. Je nekomutativní, jeho centrum je  .

Pro kvaternion   je definován sdružený kvaternion jako  . Platí, že součin   je nezáporné reálné číslo a je rovno nule pouze pro nulový kvaternion  .

Pomocí sdruženého kvaternionu se získá inverzní prvek, ke kvaternionu   je inverzní kvaternion   (dělení reálným číslem   je definováno po složkách).

Norma kvaternionu h se definuje jako  . Norma je homomorfismus násobení, pro kvaterniony h,q platí  . Z toho plyne, že množina kvaternionů normy 1 tvoří grupu (jádro homomorfismu). Tato množina je trojrozměrná sféra   a jako Lieova grupa je izomorfní   (Jediné sféry, které jsou i Lieovy grupy, jsou  ).

Grupa automorfizmů kvaternionů je izomorfní  . Prvku   se přiřadí automorfismus  , kde   a   pro  . Podobně grupa všech automorfismů i antiautomorfismů je izomorfní grupě  .

Algebra kvaternionů je izomorfní Cliffordově algebře  .

Příklady využitíEditovat

Rotace v  Editovat

Každý kvaternion můžeme zapsat ve tvaru  , kde   a  , kde   chápeme jako vektor v  . Pro libovolný ryze imaginární kvaternion   a libovolný kvaternion   platí, že   je opět ryze imaginární (t.j. vektor) a zobrazení   je rotace v  . Můžeme se omezit na jednotkové kvaterniony  . Pak platí:

rotace kolem osy   o úhel   je reprezentována kvaternionem  , kde   je jednotkový vektor ve směru osy o (otáčí v kladném směru, když se díváme se směru o).

Ke každé rotaci přísluší 2 jednotkové kvaterniony   a  . To kromě jiného dokazuje, že třírozměrná sféra   je 2:1 nakrytí  .

Zároveň je to nejjednodušší způsob, jak rotace kolem nějaké osy v   spočíst (třebaže z neznámých důvodu není moc známý). Podstatnou výhodou je, že skládání rotací odpovídá násobení příslušných kvaternionů. V případě mnohem známější reprezentace rotací pomocí Eulerových úhlů je skládání rotací mnohem složitější. Za další v případě řešení dynamických úloh rotujícího tělesa mají obvykle příslušné diferenciální rovnice v případě reprezentace pomocí kvaternionů často tvar lineárních rovnic a jejich řešení je tak relativně snadné.

Rotace v  Editovat

Kvaterniony můžeme přirozeně ztotožnit s prvky prostoru  . Pro libovolnou dvojici jednotkových kvaternionů   je zobrazení   rotace v  . Každé rotaci   odpovídají takto právě dvě dvojice jedničkových kvaternionů   a  . To objasňuje strukturu grupy  : plyne z toho hned, že  .

Platónská tělesa ve čtyřrozměrném prostoruEditovat

Pomocí kvaternionů lze nalézt některá platónská tělesa ve čtyřrozměrném prostoru. Prvním faktem, který je potřeba si uvědomit je, že žádné platónské těleso se nezmění, pokud jej pootočíme tak, že každý vrchol přejde do vrcholu jiného. Potom je potřeba si všimnout, že pokud máme čtyřrozměrný vektor (a,b,c,d) a přiřadíme mu kvaternion  , potom pokud sadu takových vektorů (kvaternionů) vynásobíme jednotkovým kvaternionem, tak se všechny tyto vektory pouze otočí. (Jsou násobené jednotkovým kvaternionem, takže se nezmění jejich velikost, jen směry, a to lineárně.) Pak si všimneme, že v kvaternionech existují uzavřené konečné grupy vůči násobení, které mají následující členy:

všechny permutace (±1, 0, 0, 0) (8 členů)
předchozí grupa + 16 čtveřic (±½, ±½, ±½, ±½)
předchozí grupa + všechny sudé permutace ½(±1, ±φ, ±1/φ, 0).

Pro každou z těchto grup tedy platí, že násobíme-li členy grupy mezi sebou, výsledkem je opět prvek dané grupy. To ovšem znamená, že každá grupa představuje vrcholy nějakého platónského tělesa ve čtyřrozměrném prostoru. To proto, že právě tehdy, když jde o platónské těleso, je splněna vlastnost, že při otočení daného tělesa tak, aby se vrchol dostal do vrcholu (čemuž právě násobení jednotkovými kvaterniony z dané grupy odpovídá) zůstane těleso stejné.

Související článkyEditovat

ReferenceEditovat