Otevřít hlavní menu

Centrum grupy je pojem užívaný v abstraktní algebře. Jde o podgrupu, jejíž každý člen komutuje s libovolným členem grupy. To odpovídá prvkům grupy, které mají v působení na sobě pomocí vnitřních automorfismů jednoprvkovou orbitu.

DefiniceEditovat

Centrem grupy   myslíme množinu   Tedy množinu všech prvků z  , které s každým prvkem z   vyhovují komutativnímu zákonu. Ve zbytku článku jej budeme značit  .

LemmaEditovat

Nechť   je grupa. Pak   (centrum grupy G je její normální podgrupa).

DůkazEditovat

Rozmyslete si, že   je uzavřené na   (tj. pokud  , pak i  ) a   (připomeňme, že prvek   jednotkový prvek grupy  , pokud  ).

Pokud je  , pak  . Tím jsme ukázali, že  .

Zatím jsme dokázali, že   je grupa, víme, že se skládá jen z prvků  , takže je to podgrupa   Pro dokončení důkazu ještě potřebujeme, aby byla normální.

Vezměme si libovolné   a jakékoli   Pak  . Tedy   a proto je   normální podgrupa  

PoznámkaEditovat

Nosič   každé grupy   může být zapsán takto:  , kde   je orbita prvku   vzhledem k vnitřnímu automorfismu a   je množina representantů alespoň dvouprvkových orbit grupy  .

DůsledekEditovat

Je-li   konečná grupa, pak  , kde   je množina representantů alespoň dvouprvkových orbit grupy   a   je index stabilisátoru prvku  .

Další DůsledekEditovat

Nechť   je grupa řádu  , kde   je prvočíslo a  . Pak  .


VětaEditovat

  je grupa řádu  , kde   je prvočíslo. Pak   je komutativní a buď   nebo  

DůkazEditovat

Využívá pojmu centrum grupy a proto sem byla tato věta zařazena (jako pozvánka ke studiu algebry). Jinak je delší a zvídavý čtenář si jej může vyhledat v literatuře uvedené na konci článku.

Související článkyEditovat

LiteraturaEditovat

L.Procházka a kolektiv: Algebra, Academia, Praha 1990

Externí odkazyEditovat