Akce grupy na množině

Akce grupy na množině je jisté zobrazení mezi množinou a grupou (definované níže) s odpovídajícími vlastnostmi. Má spojitost např. se studiem automorfismů či charakteristických podgrup.

DefiniceEditovat

Nechť   je grupa a   neprázdná množina. Zobrazení   nazveme akcí grupy   na množině   (také působením   na  ) jestliže:

  1.   pro všechna  
  2.   pro všechna   (kde   je neutrální prvek  )

Jinak řečeno prvek   působí na   stejně, jako působí   na  .

Reprezentace permutacemiEditovat

Nechť   působí na   a pro pevně zvolené   označme   zobrazení   dané předpisem  . Pak platí:

  1. pro libovolné   je   permutace na množině  ,
  2. zobrazení   dané vztahem  , je homomorfismus grup.

Zobrazení   se nazývá reprezentace permutacemi odpovídající dané akce grupy   na množině  .

Akce grupy   na   se nazývá triviální, resp. věrnou, jestliže  , resp. reprezentace permutacemi odpovídající této akci je injektivní zobrazení.

Jádro akce a stabilizátor prvkuEditovat

Jádro akce grupy   na množině   se nazývá množina   (přičemž tato množina je shodná s  ).

Je-li pevně zvolen prvek  , pak množinu   nazýváme stabilizátor prvku  . Platí, že jádro akce je průnikem všech stabilizátorů (symbolicky  ).

Stabilizátor prvku   tvoří podgrupu grupy G a jádro akce je dokonce normální podgrupa této grupy.

Orbita prvkuEditovat

Množina   se nazývá orbita prvku  .

Akce grupy G se nazývá tranzitivní, jestliže má právě jednu orbitu (tj.  ).

Působí-li grupa G na konečné množině A, pak platí, že  .

Tranzitivní akce a homogenní prostorEditovat

Říkáme, že grupa   má na   tranzitivní akci, pokud pro každé   existuje   takové, že  .

Ekvivalentně, akce je tranzitivní pokud pro jedno pevné   a každé   existuje   takové, že   a   má tedy jenom jednu orbitu.

Pokud má   na množině   tranzitivní akci, můžeme množinu   reprezentovat jako homogenní prostor

 

kde   je stabilizátor jednoho prvku   a   je množina levých rozkladových tříd. Identifikace je   a je jednoznačná,neboť

  • Díky tranzitivní akci existuje pro každé   příslušné  
  • Pokud   tak  , tedy   a  .

Zobrazení   je tedy bijekce.

Reprezentace množiny jako levých rozkladových tříd   se nazývá v geometrii homogenní prostor a tvoří základ tzv. Kleinovy geometrie. Například Eukleidovské geometrii jsou vlastní Eukleidova grupa Euc(n) všech rotací, zrcadlení a posunutí. Tato grupa má na Eukleidově prostoru tranzitivní akci a stabilizátor pevně daného bodu je grupa O(n) všech otočení a zrcadlení takových které bod zachovávají. Eukleidův prostor   dimenze   tedy můžeme reprezentovat jako

 

OdkazyEditovat

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat