Otevřít hlavní menu

Ortogonální grupa je množina všech rotací a zrcadlení Euklidova prostoru spolu s operací skládání. Obecněji jde o grupu lineárních transformací vektorového prostoru zachovávajících nějakou symetrickou bilineární formu.

Obsah

Formální definiceEditovat

Nechť   je vektorový prostor, na kterém je dána nedegenerovaná symetrická bilineární forma  . Ortogonální grupu   definujeme jako množinu všech invertibilních lineárních zobrazení

 

takových, že pro všechna   platí

 .

Operace skládání definuje na   strukturu grupy. Pokud je   reálný nebo komplexní vektorový prostor, zadává kanonické vnoření   do vektorového prostoru   strukturu hladké variety – v tom případě se tedy jedná o Lieovu grupu.

Pro reálný vektorový prostor   a nedegenerovanou formu   signatury   značíme příslušnou grupu  . Pro pozitivně definitní   pak používáme značení  .

Pro komplexní prostor   dimenze   s nedegenerovanou komplexní bilineární formou   značíme příslušnou Lieovu grupu  .

Vzhledem k absenci specifické formy   v tomto značení je zřejmé, že tyto symboly označují objekty definované až na izomorfismus (Lieových grup).

Pokud se omezíme na lineární zobrazení s determinantem  , dostáváme grupu  , resp.  ,  . Značení   a   pochází ze anglických názvů těchto grup: orthogonal a special orthogonal.

Někdy se symbolem   značí přímo množina ortogonálních matic   dimenze  . To odpovídá volbě standardní symetrické formy  .

PříkladEditovat

V reálném prostoru dimenze   se ortogonální grupa   dá popsat jako množina matic

 

které reprezentují rotace o úhel   a matic

 

které reprezentují zrcadlení kolem osy se směrem  .

V třírozměrném prostoru je   množina rotací kolem nějaké osy procházející počátkem souřadnicové soustavy a také zrcadlení podle nějaké roviny procházející počátkem.

VlastnostiEditovat

Grupy   jsou polojednoduché souvislé komplexní Lieovy grupy. Pro   jsou jednoduché (t.j. jejich Lieovy algebry jsou jednoduché Lieovy algebry). Podobně   jsou reálné souvislé polojednoduché Lieovy grupy. Jak plyne z obecné teorie reprezentací polojednoduchých grup, všechny konečně dimenzionální reprezentace ortogonální grupy jsou rozložitelné na součty ireducibilních. Navíc každá ireducibilní reprezentace je obsažena v tenzorové mocnině definující reprezentace.

Grupa   je komutativní a je izomorfní grupě jednotkových komplexních čísel  . Grupa   je grupa rotací třírozměrného Euklidova prostoru a jako hladká varieta je difeomorfní projektivnímu prostoru  .

Dimenze   jako hladké variety je  . Speciálně  , což odpovídá tomu, že každou rotaci v třírozměrném Euklidově prostoru lze parametrizovat třemi tzv. Eulerovými úhly.

Platí   (jedná se skutečně o rovnost a ne pouze izomorfizmus). [zdroj?]

Pro reálný vektorový prostor   se grupa   jako varieta skládá ze dvou kopií variety  , není tedy nikdy souvislá. Grupy   mají dvě komponenty souvislosti pokud  , komponenta obsahující jednotku se značí  . Pro každou grupu   existuje souvislá grupa  , která je jejím dvojitým nakrytím. Navíc   je kompaktní právě tehdy, když   nebo   je nula.

Fundamentální grupa   pro   je  , fundamentální grupy variet   jsou popsány v následující tabulce:

       
       
       
       

Konečné podgrupyEditovat

Konečné podgrupy ortogonální grupy často odpovídají symetriím některých geometrických útvarů.

Konečné podgrupy grupy   jsou pouze cyklické grupy   a dihedrální grupy  . To je grupa symetrií pravidelného mnohoúhelníka.

Třírozměrná speciální ortogonální grupa   má tyto konečné podgrupy[1]:

  • Cyklické grupy  
  • Dihedrální grupy   (odpovídá symetriím válce s podstavou pravidelného mnohoúhelníka)
  • Tetrahedrální grupa   (odpovídá symetriím pravidelného čtyřstěnu)
  • Oktohedrální grupa   (odpovídá symetriím krychle a osmistěnu)
  • Ikosahedrální grupa   (odpovídá symetriím pravidelného dvanáctistěnu a pravidelného dvacetistěnu).

Existence Platonských těles ve vyšších dimenzích má úzkou souvislost s existencí konečných podgrup ortogonální grupy.

VyužitíEditovat

Grupy   a   se často vyskytují ve fyzice, kde vystupují jako grupy symetrií různých systémů a rovnic. Někdy se o těchto grupách nebo jejich dvojitém nakrytí hovoří přímo jako o symetrii teorie.

Konečné podgrupy   mají aplikace v krystalografii a jejich reprezentace jsou důležité ve spektroskopii.

Grupa   se nazývá Lorentzova grupa a vyskytuje se v speciální teorii relativity jako grupa transformací souřadnic mezi inerciálními systémy. Unitární reprezentace dvojitého nakrytí této grupy jsou podstatné pro klasifikaci částic v rámci relativistické kvantové mechaniky. Pomocí jisté neunitární reprezentace dvojitého nakrytí této grupy lze popsat částici vyhovující Diracově rovnici, tzv. Diracův bispinor.

Riemannův tenzor křivosti na Riemannově varietě se dá chápat jako prvek reprezentace grupy   a jeho rozklad na ireducibilní komponenty definuje různé složky křivosti.

ReferenceEditovat

  1. Sarah Bendall, Classification of the Finite Subgroups of the Rotation Group, online Archivováno 23. 6. 2010 na Wayback Machine