Lieova algebra
Lieova algebra je algebraická struktura, která úzce souvisí s Lieovými grupami a jejich reprezentacemi.
Definice
editovatLieova algebra je algebra, tj. vektorový prostor nad tělesem spolu s bilineárním zobrazením (Lieova závorka) ve tvaru
- ,
které pro všechna splňuje vlastnosti:
- Alternativita,
- .
- Jacobiho identita,
- .
Lze jednoduše z definice ukázat, že alternativita implikuje antikomutativitu, a naopak v případě, že uvažujeme těleso jiné charakteristiky než dva, antikomutativita implikuje alternativitu.
- Uvažujme libovolné dva prvky . S využitím bilinearity Lieovy závorky lze psát
- ,
- z čehož dostáváme antikomutativitu. Naopak stačí uvažovat
- ,
- z čehož plyne , a tudíž z antikomutativity plyne alternativita.
Příklady
editovat- Libovolný vektorový prostor s triviální (nulovou) závorkou:
- Třírozměrný vektorový prostor s vektorovým součinem:
- matice s nulovou stopou a komutátorem
- antisymetrické reálné matice spolu s komutátorem
- antihermitovské matice spolu s komutátorem
- funkce na fázovém prostoru spolu s Poissonovou závorkou
- vektorová pole na varietě s komutátorem vektorových polí
- Tečný prostor Lieovy grupy G v jednotkovém prvku spolu se závorkou , kde je derivace zobrazení v . Této Lieovy algebře se říká Lieova algebra Lieovy grupy G. V případě maticových grup je pouze tečný prostor G a obyčejný komutátor matic.