Lieova algebra

Lieova algebra je algebraická struktura, která úzce souvisí s Lieovými grupami a jejich reprezentacemi.

DefiniceEditovat

Lieova algebra je algebra, tj. vektorový prostor   nad tělesem   spolu s bilineárním zobrazením (Lieova závorka) ve tvaru

 ,

které pro všechna   splňuje vlastnosti:

  • Alternativita,
 .
  • Jacobiho identita,
 .

Lze jednoduše z definice ukázat, že alternativita implikuje antikomutativitu, a naopak v případě, že uvažujeme těleso jiné charakteristiky než dva, antikomutativita implikuje alternativitu.

Uvažujme libovolné dva prvky  . S využitím bilinearity Lieovy závorky lze psát
 ,
z čehož dostáváme antikomutativitu. Naopak stačí uvažovat
 ,
z čehož plyne  , a tudíž z antikomutativity plyne alternativita.

PříkladyEditovat

  • Libovolný vektorový prostor s triviální (nulovou) závorkou:  
  • Třírozměrný vektorový prostor s vektorovým součinem:  
  • matice   s nulovou stopou a komutátorem  
  • antisymetrické reálné matice spolu s komutátorem
  • antihermitovské matice spolu s komutátorem
  • funkce na fázovém prostoru spolu s Poissonovou závorkou
  • vektorová pole na varietě s komutátorem vektorových polí
  • Tečný prostor   Lieovy grupy G v jednotkovém prvku spolu se závorkou  , kde   je derivace zobrazení   v  . Této Lieovy algebře   se říká Lieova algebra Lieovy grupy G. V případě maticových grup je   pouze tečný prostor G a   obyčejný komutátor matic.

Související článkyEditovat