Vektorový součin[1] je v matematice binární operace násobení vektorů v trojrozměrném vektorovém prostoru se skalárním součinem. Výsledkem této operace je vektor (na rozdíl od součinu skalárního, jehož výsledkem je při součinu dvou vektorů skalár) kolmý k oběma násobeným vektorům a jeho velikost je rovna obsahu rovnoběžníku sevřeného násobenými vektory. Vektorové násobení není ani komutativní ani asociativní operace.

Značení

editovat

Vektorový součin vektorů   a   se obvykle značí jedním z následujících způsobů:

  •  
  •   – používáno ve frankofonních zemích
  •   – používáno v Rusku

Definice

editovat

Mějme aritmetický vektorový prostor   s kanonickou bází nad číselným tělesem  , pak pro vektory   platí, že vektor   je vektorovým součinem vektorů   vzhledem k uvedené bázi, právě když:

 ,

kde   je úhel svíraný vektory   a   a kde   je jednotkový vektor k nim kolmý, tj. vektorový součin je vnější součin ve třech rozměrech.

Výše uvedené jednotkové vektory existují dva v závislosti na tom, je-li souřadný systém definován jako pravotočivý nebo levotočivý. V pravotočivém souřadném systému lze použít pravidlo pravé ruky: je-li vektor   znázorněn ukazovákem a vektor   prostředníkem pravé ruky, přičemž ukazovák je natažený v rovině dlaně a prostředník směřuje blíže k rovině na dlaň kolmé, pak vektorový součin   je ve směru palce.

Vektorový součin lze definovat také bez pomoci úhlu, který oba vektory svírají. Máme-li vektorový součin  , pak složky vektoru   lze určit jako:

 
 
 .

S využitím vzájemně jednoznačného přiřazení třísložkových vektorů a antisymetrických matic řádu  :

 

lze vektorový součin zavést jako komutátor dvou takových matic:

 ,

kde množina antisymetrických matic je vzhledem ke komutátoru uzavřená.

Pomocí Levi-Civitova symbolu je možné složky vektorového součinu zapsat jako:

 .

Zobecnění při zachování bilinearity

editovat

Vektorový součin dvou vektorů není pravý vektor, ale tzv. pseudovektor, tzn. při zrcadlení vztažné soustavy se transformuje s opačným znaménkem než pravé vektory. Chceme-li s vektorovým součinem operovat kovariantně, vyjádříme jeho složky jako prvky antisymetrického tenzoru druhého řádu:

 .

Počet nezávislých složek takovéhoto antisymetrického tenzoru je roven třem pouze ve třírozměrném prostoru, proto lze provést přiřazení:

 
 
 
 .

Toto přiřazení je speciálním případem tzv. Hodgeova duálu a umožňuje zobecnění vektorového součinu i do prostorů s dimenzí různou od 3. (Např. ve čtyřrozměrném prostoru je počet nezávislých složek antisymetrického tenzoru druhého řádu 6, takže jej již nelze vyjádřit jako pseudovektor a zobecněním vektorového součinu je pseudotenzor druhého řádu.)

Zobecnění v n-rozměrném prostoru

editovat
Podrobnější informace naleznete v článku Vnější součin.

Vlastnosti

editovat
 
Vektorový součin

pro všechny nenulové vektory   a všechna   platí:

  resp.  .
 .
  • Vektorový součin je distributivní vůči sčítání, tj. jedná se o bilineární operaci:
 .
 .
  • Vektorový součin vektorů   a   je nulový vektor ( ), právě když jsou násobené vektory kolineární.
  • Pro derivaci vektorového součinu v třírozměrném prostoru platí:
 .
  • Tvoří-li vektory  ,  ,   (v tomto pořadí) pravotočivou ortonormální bázi třírozměrného prostoru, pak:
 
 
 .
  • V uvedené bázi lze vektorový součin vektorů   a   zapsat pomocí determinantu jako:
 .

Příklad

editovat

Součin vektorů u = (1,2,0) a v = (0,1,2) se vypočítá následovně:

  • Výpočet pomocí definice:
 
 
 

Je zřejmé, že vektory u×v a v×u jsou navzájem opačné vektory. Oba jsou kolmé na rovinu určenou vektory u, v.

  • Výpočet pomocí determinantu matice:
 

kde pro výpočet determinantu matice řádu 3 lze použít například Sarrusovo pravidlo:

 

kde i, j, k jsou jednotkové vektory kolineární s jednotlivými souřadnými osami, tedy i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1), tj,:

 

Výpočet v×u je analogický.

Aplikace

editovat

Moment síly

editovat

Vektorový součin je hojně využíván ve fyzice, např. moment síly   je definován následovně:

 ,

kde   je polohový vektor působiště síly. Podobně vypadá i moment hybnosti  :

 ,

kde   značí hybnost hmotného bodu, který má polohu   vůči zvolenému počátku souřadnic. Moment síly a moment hybnosti spolu úzce souvisí. Ukáže se to při pokusu o derivování momentu hybnosti podle času:

 .

Zde bylo využito výše zmíněného pravidla pro derivaci vektorového součinu. Výraz   je v kinematice přesná definice rychlosti   tělesa. Podobně tak   definuje sílu. Poslední užitá fyzikální rovnost se týká hybnosti.  . Na základě těchto opisů lze derivaci momentu hybnosti upravit do tvaru:

 ,

kde vektorový součin dvou identických vektorů   je roven nule, pak dostaneme:

 .

Moment síly je tedy časová derivace momentu hybnosti. V praktickém světě se tohoto vztahu dá využít např. v orbitální mechanice. Planeta, která obíhá kolem Slunce tvořícího počátek souřadnic, má nulový moment síly, neboť gravitační síla i polohový vektor mají stejný směr. Moment hybnosti této planety se určí integrováním:

 ,

kde   je integrační konstanta. Jinými slovy  , což je pravidlo charakteristické pro 2. Keplerův zákon.

Operátor rotace

editovat

Další forma vektorového součinu důležitá pro fyziku je operátor rotace. Jedná se o diferenciální operátor, jehož aplikování na vektor   má strukturu:

 ,

kde   značí operátor nabla:

 .

Rotace se vyskytuje ku příkladu v prvních dvou Maxwellových rovnicích zapsaných v diferenciálním tvaru:

 
 .

Reference

editovat
  1. BICAN, Ladislav. Linearni algebra a geometrie (upr. vydání). [s.l.]: Academia, 2009. ISBN 978-80-200-1707-9. 

Související články

editovat

Externí odkazy

editovat