Otevřít hlavní menu

Poissonova závorka

Poissonova závorka označuje matematický výraz používaný v matematice a klasické mechanice (konkrétně v Hamiltonovské mechanice), kde se využívá k popisu časového vývoje dynamického systému. V matematice se Poissonova závorka používá k definici Poissonovy algebry (příkladem Poissonovy algebry je Poissonova varieta).

Poissonova závorka je pojmenována po Siméonu-Denisi Poissonovi.

Vyjádření v kanonických souřadnicíchEditovat

Mějme ve fázovém prostoru s kanonickými souřadnicemi   dvě funkce   a  . Poissonova závorka má pak tvar

 

Lze dokázat, že hodnota Poissonovy závorky   je invariantní vůči kanonickým transformacím, tzn.

 

Není tedy nutno uvádět, ke kterým kanonickým souřadnicím se Poissonova závorka vztahuje.

VlastnostiEditovat

Poissonovy závorky splňují následující vztahy

 

Poissonova závorka je tedy antikomutativní. Speciálním případem tohoto vztahu je

 

Dále platí

 
 

Platí také tzv. Jacobiho identita

 


Pro časovou derivaci Poissonovy závorky platí

 

Fyzikální aplikaceEditovat

Rovnice pohybuEditovat

S využitím Hamiltonových kanonických rovnic lze pro totální časovou derivaci funkce f psát

 ,

Kde   je Hamiltonova funkce. Funkce   je tedy integrálem pohybových rovnic tehdy, pokud platí

 

V případě, že   nezávisí explicitně na čase, zjednoduší se předchozí rovnice na tvar

 


Zvolíme-li za funkci   Hamiltonovu funkci  , pak podle bude platit

 

Podle tohoto vztahu se tedy Hamiltonova funkce zachovává tehdy, když nezávisí explicitně na čase.

Platí, že jsou-li funkce f, g integrály pohybových rovnic, je integrálem pohybových rovnic také Poissonova závorka  .

Fundamentální Poissonova závorkaEditovat

Důležitými Poissonovými závorkami jsou takové závorky, v nichž roli f a g hrají souřadnice a hybnosti. Někdy se také hovoří o fundamentální Poissonově závorce.

Takové Poissonovy závorky lze pak vyjádřit vztahy

 
 
 

kde   je Kroneckerovo delta.

Související článkyEditovat