Otevřít hlavní menu

Matematický pojem tečný prostor variety v daném bodě značí množinu všech jejích tečných vektorů "vázaných" v tomto bodě, viz Obr. 1. Na každém tečném prostoru je přirozeným způsobem dána struktura vektorového prostoru; odtud tedy označení tečný prostor.

Obr. 1: Intuitivní geometrická představa tečného prostoru koule

Obsah

DefiniceEditovat

Pokud   je hladká varieta a   značí množinu všech hladkých funkcí definovaných na  , pak tečným prostorem   variety   v bodě   nazveme množinu všech funkcionálů   splňujících:

  1.  ,  
  2.  

Každý prvek   nazveme tečným vektorem   v bodě  .

VlastnostiEditovat

Lineární strukturaEditovat

Definujeme-li na   sčítání dvou prvků  ,

 
tvoří   vektorový prostor. Navíc lze za pomocí vlastností 1 a 2 definice ukázat, že je konečněrozměrný a jeho dimenze je rovna dimenzi variety  .

Tečný vektor v lokálních souřadnicíchEditovat

Pokud máme na varietě   lokální systém souřadnic  ,  , můžeme tečný vektor   rozvinout v bázi souřadnicových vektorových polí  :

 

PříkladEditovat

 
Obr.2: Tečný vektor křivky   v bodě  

Jestliže   (  je otevřený interval v  ) je hladká křivka na varietě   procházející bodem   v  , je zobrazení

 
tečným vektorem variety   v bodě   a současně tečným vektorem křivky   v  .

LiteraturaEditovat

  • Fecko M., Differential Geometry and Lie Groups for Physicists, Cambridge 2006
  • Krump L., Souček V., Těšínský J. A.: Matematická analýza na Varietách, skripta MFF UK, Karolinum 1999
  • Kowalski O., Úvod do Riemannovy geometrie, Univerzita Karlova, Praha 1995