Otevřít hlavní menu
Vektorové pole - každému bodu roviny je přiřazen vektor.

Vektorové pole je v matematice a fyzice (zpravidla spojitá a dostatečně hladká) funkce přiřazující každému bodu prostoru vektor. V klasické fyzice jsou vektory obvykle umístěny v Euklidovském prostoru, ve speciální relativitě v Minkowského prostoru, obecněji může jít o jakoukoliv hladkou varietu.

Ve fyzice se užívá k popisu toho, jak se daná vektorová veličina mění bod od bodu. Příkladem může být pole rychlostí kapaliny v jednotlivých bodech, nebo vektorové pole síly v gravitačním poli.

Matematicky se vektorové pole na (hladké) varietě definuje jako zobrazení mezi danou varietou a jejím tečným bandlem. Přesněji řečeno, takto se definuje tečné vektorové pole. V moderní geometrii se často pod pojmem vektorové pole rozumí jakákoliv sekce vektorového bundlu (takto obecná definice zahrnuje i spinorová nebo tensorová pole na varietách).

Obsah

DefiniceEditovat

Obecné vektorové poleEditovat

Mějme hladkou varietu M, pak vektorovým polem W na M nazveme zobrazení

 
kde   je tečný prostor M v bodě x.

Hladké vektorové poleEditovat

Řekneme, že vektorové pole W je hladké, pokud pro každou hladkou funkci f na M, je   opět hladkou funkcí na M. Ekvivalentně v lokálních souřadnicích   na M: vektorové pole   nazveme hladké na  , jestliže všechny funkce   jsou hladké na  .

Transformace poleEditovat

Ve fyzice se obvykle zapisuje pole pomocí souřadnic. Někdy je potřebné přejít do nových souřadnic, ve kterých bude zápis vypadat jinak. Předpokládejme, pro obecnost, že máme lokální souřadnice   a vektory vyjadřujeme jako tečné vektory, t.j.  . Nechť je pole zapsáno v původních souřadnicích jako  , t.j. je reprezentováno funkcemi   (což jsou souřadnice vektorů). Nechť   jsou nové souřadnice a nechť bod se souřadnicemi   má v starých souřadnicích zápis   kde   je homeomorfizmus. Pak v nových souřadnicích se dá pole zapsat jako  

Ve fyzice se obvykle předpokládá, že pokud jsme schopni vektorové pole nějak měřit nebo počítat z jiných veličin, pak změníme pozorovatele takovým způsobem, aby se „fyzikální zákony“ nezměnily (například v klasické fyzice je to posunutí, otočení a zrcadlení pozorovatele, ve speciální relativitě Poincarého transformace), pak by pozorovatel v nových souřadnicích měl být schopen změřit nebo spočíst to samé pole (třebaže v souřadnicích jinak vyjádřené).

Související článkyEditovat