Otevřít hlavní menu

Cyklická grupa

grupa generovaná jediným prvkem

V matematice, konkrétně v teorii grup, se pojmem cyklická grupa označuje grupa, která může být generována operováním s jedním jediným prvkem. Tento prvek se nazývá generátor cyklické grupy.

Cyklická grupa může mít více než jeden generátor. Například grupa všech celých čísel modulo 5 se sčítáním má čtyři generátory: 1, 2, 3 a 4.

Geometrickým názorným příkladem cyklických grup jsou grupy zákrytových otočení pravidelných mnohoúhelníků (s operací skládání zobrazení). Např. u pětiúhelníku jsou generátorem otočení o 72°, 144°, 216° nebo 288°. Je izomorfní s grupou .

Obsah

DefiniceEditovat

Grupa G je cyklická právě tehdy, když existuje g∈G takový, že G={gk|k∈Z}. Takovému jejímu prvku se říká generátor.

Ekvivalentní definice: G je cyklická, když existuje g∈G a jediná podgrupa G obsahující toto g je celé G (nejsou žádné "menší" podgrupy obsahující g).

Základní vlastnosti cyklických grupEditovat

Každá cyklická grupa je (homomorfním) obrazem grupy celých čísel, takže je nejvýše spočetná.

Každá konečná grupa, která má prvočíselný počet prvků, je cyklická. Plyne to z Lagrangeovy věty.

Každá cyklická grupa je automaticky Abelova, neboť všechny celé mocniny generátoru komutují. Toto a že je vůbec lze zavést je důsledkem pravidla asociativity, které platí v každé grupě.

Pokud dvě cyklické grupy mají stejný počet prvků, pak jsou již izomorfní, neboť stačí zobrazit generátor jedné grupy na generátor druhé.

Příklady cyklických grupEditovat

Každá grupa

 ,

kde operace +, - jsou brány modulo n, je cyklická.

Reprezentativním příkladem nekonečné cyklické grupy je grupa celých čísel se sčítáním

 .

Tato grupa má dva generátory, 1 nebo -1. Všechny nekonečné cyklické grupy jsou izomorfní grupě celých čísel.

Grupy rotací pravidelných n-mnohoúhelníků s operací skládání zobrazení jsou izomorfní s  .

Komplexní n-té odmocniny z jedné tvoří cyklickou grupu řádu n.

Mezi významné cyklické grupy patří grupy jednotek v některých okruzích (tyto grupy jsou grupami vzhledem k násobení, ne ke sčítání).

Věty o cyklických grupáchEditovat

  • Každá konečná podgrupa multiplikativní grupy libovolného tělesa je cyklická. Jednoduchý důkaz vychází z vlastností Eulerovy funkce a ze skutečnosti, že polynom nad komutativním tělesem nemůže mít více kořenů, než je jeho stupeň.
  • Každá konečná cyklická grupa řádu n má právě   různých generátorů, kde   je Eulerova funkce.
  • Všechny aditivní grupy   jsou cyklické. Naproti tomu multiplikativní grupy jednotek   jsou cyklické jen v následujících případech:  , p liché prvočíslo a k přirozené číslo.

OdkazyEditovat

LiteraturaEditovat

  • Drápal, A.: Úvod do teorie grup
  • Koblitz, N.: A Short Course in Cryptography and Number Theory