Lagrangeova věta (teorie grup)

Lagrangeova věta je základní tvrzení z teorie grup, jehož důsledkem je, že řád každého prvku či podgrupy dělí řád grupy. To znamená, že například grupa řádu 15 může mít prvky řádu 1, 3, 5 a 15, avšak nikoliv třeba 7. Věta nese jméno význačného matematika, Josepha Louise Lagrange.

Přesné znění

Pro grupu G a její podgrupu H platí:

|G|=[G:H]\cdot |H|

, kde |X| značí řád grupy X a [G:H] index grupy (počet levých cosetů H v G).

Důkaz

Nejprve ukážeme, že levé cosety $gH=\{gh;\;h\in H\}$ tvoří dohromady pro $\forall g\in G$ rozklad množiny G. Protože $x\cdot e=x\in xH$ , nepochybně levé cosety obsahují všechny prvky G. Abychom ukázali, že neobsahují žádný prvek dvakrát, předpokládejme naopak $xH\cap yH\neq \emptyset$ pro nějaké $x,y\in G$ . Jinými slovy pro nějaká $h_{1},h_{2}\in H$ musí být $x\cdot h_{1}=y\cdot h_{2}$ . Vynásobením na pravé straně prvkem $h_{2}^{-1}$ dostaneme $x\cdot h_{1}\cdot h_{2}^{-1}=y$ . Pro jednoduchost provedeme substituci $t=h_{1}\cdot h_{2}^{-1}$ . Vzhledem k definici podgrupy $t\in H$ , a proto

$yH=\{yh;\;h\in H\}=\{(xt)h;\;h\in H\}=\{x(th);\;h\in H\}$ .

$yH\subset xH$ , neboť rovněž $(th)\in H$ , a tudíž každý prvek v yH je obsažen v xH. Symetrickým postupem bychom získali $xH\subset yH$ , a proto $yH=xH$ . Z čehož plyne, že cosety gH tvoří rozklad G.

Abychom ukázali, že řád všech cosetů je totožný, najdeme bijektivní zobrazení f z H na xH pro $\forall x\in G$ . Definujme f rovnicí

$f(h)=xh$

Důkaz injektivity: Předpokládejme $f(h_{1})=f(h_{2})$ .

$x\cdot h_{1}=x\cdot h_{2}$ . Obě strany vynásobíme zleva prvkem $x^{-1}$

$x^{-1}\cdot x\cdot h_{1}=x^{-1}\cdot x\cdot h_{2}$

$h_{1}=h_{2}$

Surjektivita je zřejmá z definice.

Nechť $[G/H]$ značí celkový počet všech (ať už levých nebo pravých) cosetů. Jak už jsme ukázali, cosety tvoří rozklad množiny G a každý z nich má tentýž řád |H|. Z těchto úvah plyne $|G|=[G/H]\cdot |H|$ .

QED.

Důsledky

Řád každého prvku $a\in G$ , neboli nejnižší přirozené číslo n, pro které $a^{n}=e$ , je řád cyklické grupy generované prvkem a, a proto podle Lagrangeovy věty n dělí řád grupy G. Lagrangeova věta je silnějším tvrzením než Eulerova-Fermatova věta. Dá se ukázat, že množina zbytků modulo n, které jsou s n nesoudělná, tvoří s operací násobení grupu. Neutrální prvek je e = 1; existence inverzního prvku je důsledek Bézoutovy rovnosti pro gcd(g,n) = 1; asociativita vyplývá z vlastností modulární aritmetiky; uzavřenost grupy je zřejmá, neboť součin dvou čísel nesoudělných s n je rovněž nesoudělný, jakož i jeho zbytek po dělení modulo n. Řád takové grupy je právě $\varphi (n)$ , což je Eulerova funkce. Podle Lagrangeovy věty má každý prvek g nějaký řád k, který je dělitelem čísla $\varphi (n)$ . Odtud plyne

$\varphi (n)=kd$ , kde $d\in \mathbb {Z}$

$g^{\varphi (n)}=g^{kd}=({g^{k}})^{d}=e^{d}=e$

což je ekvivalentí zápisu

$g^{\varphi (n)}\equiv 1{\pmod {n}}$ .

Příbuzná tvrzení

Lagrangeova věta dává nutnou podmínku pro řády podgrup (i prvků) grupy, nezaručuje ale jejich existenci. Naopak Sylowovy věty na základě řádu grupy zaručují existenci jistých podgrup v dané grupě - dají se tedy brát jako protipól Lagrangovy věty.

Související články

Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu – také známa jako Lagrangeova věta
Sylowovy věty