Lagrangeova věta (teorie grup)

Lagrangeova věta je základní tvrzení z teorie grup, jehož důsledkem je, že řád každého prvku či podgrupy dělí řád grupy. To znamená, že například grupa řádu 15 může mít prvky řádu 1, 3, 5 a 15, avšak nikoliv třeba 7. Věta nese jméno význačného matematika, Josepha Louise Lagrange.

Přesné zněníEditovat

Pro grupu G a její podgrupu H platí:

 , kde |X| značí řád grupy X a [G:H] index grupy (počet levých cosetů H v G).

DůkazEditovat

Nejprve ukážeme, že levé cosety   tvoří dohromady pro   rozklad množiny G. Protože  , nepochybně levé cosety obsahují všechny prvky G. Abychom ukázali, že neobsahují žádný prvek dvakrát, předpokládejme naopak   pro nějaké  . Jinými slovy pro nějaká   musí být  . Vynásobením na pravé straně prvkem   dostaneme  . Pro jednoduchost provedeme substituci  . Vzhledem k definici podgrupy  , a proto

 .

 , neboť rovněž  , a tudíž každý prvek v yH je obsažen v xH. Symetrickým postupem bychom získali  , a proto  . Z čehož plyne, že cosety gH tvoří rozklad G.

Abychom ukázali, že řád všech cosetů je totožný, najdeme bijektivní zobrazení f z H na xH pro  . Definujme f rovnicí

 

  • Důkaz injektivity: Předpokládejme  .

 . Obě strany vynásobíme zleva prvkem  

 

 

Nechť   značí celkový počet všech (ať už levých nebo pravých) cosetů. Jak už jsme ukázali, cosety tvoří rozklad množiny G a každý z nich má tentýž řád |H|. Z těchto úvah plyne  .

QED.

DůsledkyEditovat

Řád každého prvku  , neboli nejnižší přirozené číslo n, pro které  , je řád cyklické grupy generované prvkem a, a proto podle Lagrangeovy věty n dělí řád grupy G. Lagrangeova věta je silnějším tvrzením než Eulerova-Fermatova věta. Dá se ukázat, že množina zbytků modulo n, které jsou s n nesoudělná, tvoří s operací násobení grupu. Neutrální prvek je e = 1; existence inverzního prvku je důsledek Bézoutovy rovnosti pro gcd(g,n) = 1; asociativita vyplývá z vlastností modulární aritmetiky; uzavřenost grupy je zřejmá, neboť součin dvou čísel nesoudělných s n je rovněž nesoudělný, jakož i jeho zbytek po dělení modulo n. Řád takové grupy je právě  , což je Eulerova funkce. Podle Lagrangeovy věty má každý prvek g nějaký řád k, který je dělitelem čísla  . Odtud plyne

 , kde  

 

což je ekvivalentí zápisu

 .

Příbuzná tvrzeníEditovat

Lagrangeova věta dává nutnou podmínku pro řády podgrup (i prvků) grupy, nezaručuje ale jejich existenci. Naopak Sylowovy věty na základě řádu grupy zaručují existenci jistých podgrup v dané grupě - dají se tedy brát jako protipól Lagrangovy věty.

Související článkyEditovat