Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu

Tento článek je o větě z matematické analýzy. Další významy jsou uvedeny na stránce Lagrangeova věta.

Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu (také Lagrangeova věta o střední hodnotě, Lagrangeova věta o přírůstku funkce) je matematická věta z oblasti diferenciálního počtu, která říká, že se při „hladké“ změně nějaké veličiny dosahuje v nějakém okamžiku průměrné rychlosti dané změny.

Rolleova větaEditovat

Související informace naleznete také v článku Rolleova věta.

Speciálním jednodušším případem Lagrangeovy věty je Rolleova věta, ze které již věta Lagrangeova snadno plyne:

Nechť funkce   je spojitá na intervalu  , má derivaci v každém bodě intervalu   a platí  . Pak existuje bod   takový, že  .

Geometrický významEditovat

 
Geometrické znázornění Rolleovy věty

Rolleova věta říká, že za uvedených předpokladů existuje v intervalu   bod, v němž je tečna ke grafu funkce   rovnoběžná s osou x.

Fyzikální významEditovat

Fyzikálně lze Rolleovu větu interpretovat takto:

Mění-li se nějaká veličina v čase „hladkým způsobem“ tak, že na začátku i konci tohoto procesu má stejnou velikost, pak v nějakém okamžiku musí být okamžitá rychlost změny nulová.

Lagrangeova věta o střední hodnotěEditovat

Lagrangeovu větu lze vyslovit následovně:

Nechť funkce   je spojitá na intervalu   a má v každém bodě intervalu   derivaci. Pak existuje bod   takový, že platí  .

Protože je derivace   v bodě směrnice tečny, můžeme tvrdit že pro   platí:

  •   je v tomto bodě rostoucí
  •   je v tomto bodě klesající

Geometrický významEditovat

 
Geometrický význam Lagrangeovy věty

Lagrangeova věta tvrdí, že za uvedených předpokladů v intervalu   existuje bod  , v němž je tečna k funkci   rovnoběžná s přímkou vedenou body   a  .

Fyzikální významEditovat

Lagrangeovu větu lze fyzikálně interpretovat následovně:

Mění-li se nějaká veličina v čase „hladkým způsobem“, pak v nějakém okamžiku musí být okamžitá rychlost změny rovna průměrné rychlosti.

ZobecněníEditovat

Zobecněním Lagrangeovy věty je Cauchyova věta o střední hodnotě:

Nechť funkce   jsou spojité na intervalu  , mají v každém bodě   intervalu   vlastní derivaci a nechť pro všechna   platí  . Pak existuje bod   takový, že platí  .

DůkazEditovat

Dokážeme Cauchyovu větu o střední hodnotě, Lagrangeova věta pak plyne z Cauchyovy věty volbou  . Protože   pro všechna  , je podle obměněné implikace Rolleovy věty (důkaz) nutně   (ostatní předpoklady Rolleovy věty jsou splněny díky předpokladům Cauchyovy věty). Můžeme tak definovat funkci

 .

Funkce   je zřejmě spojitá na intervalu  , má derivaci na intervalu   a  .   splňuje předpoklady Rolleovy věty a existuje tedy   takové, že

 

Dle předpokladu je   a tedy

 .

Související článkyEditovat