Rolleova věta

Rolleova věta (též Rollova věta) je matematická věta diferenciálního počtu. Je pojmenována po francouzském matematikovi Michelu Rolleovi, který větu formuloval v roce 1691.

Geometrický význam Rolleovy věty.

VětaEditovat

Nechť f je spojitá funkce na uzavřeném intervalu   a nechť pro každý bod x otevřeného intervalu   existuje derivace   a nechť  . Pak existuje bod c v otevřeném intervalu  , pro nějž platí

 .

DůkazEditovat

Důkaz rozdělíme do dvou částí:

  1. Nechť funkce f je konstantní. Potom derivace   a věta je dokázána.
  2. Nechť funkce f není konstantní. Jelikož   a funkce není konstantní, musí existovat   takové, že   nebo  . Předpokládejme, že  .

Využijeme věty tvrdící, že každá funkce spojitá na uzavřeném intervalu   nabývá na tomto intervalu svého maxima i minima a zabývejme se maximem. Jelikož existuje   takové, že  , tak maximum nemůže ležet ani v a, ani v b. Leží tedy uvnitř intervalu, v bodě c. Z věty o nutné podmínce lokálního extrému vyplývá, že tedy v bodě c, kde se nalézá lokální extrém funkce,  .

Analogické tvrzení platí i pro minimum.

HistorieEditovat

Rolleovu větu znal už ve dvanáctém století indický matematik Bháskara II. První formální důkaz podal francouzský matematik Michel Rolle v roce 1691. Název Rolleova věta byl poprvé použit v devatenáctém století.

PříkladyEditovat

 
Půlkruh s poloměrem r

První příkladEditovat

Buď poloměr   a mějme funkci

 .

Jejím grafem je horní půlkruh se středem v počátku. Tato funkce je spojitá na uzavřeném intervalu   a má derivaci na otevřeném intervalu  , ale ne v krajních bodech. Předpoklady Rolleovy věty jsou splněny, protože  . A skutečně, bod s nulovou derivací existuje.

 
Graf funkce absolutní hodnoty

Druhý příkladEditovat

Pokud funkce nemá ve všech vnitřních bodech intervalu derivaci, nemusí závěr Rolleovy věty platit. Mějme funkci absolutní hodnoty:

 .

Ačkoli  , neexistuje žádný bod   takový, že  . Důvodem je právě to, že v bodě   neexistuje derivace funkce  .

ReferenceEditovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Rolle's theorem na anglické Wikipedii.


Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat