Extrém funkce

význačný bod funkce
(přesměrováno z Lokální extrém)

Extrém funkce, (obecně lokální), je takový bod funkce, v kterém v jistém okolí nezávisle proměnné funkce nabývá závisle proměnná funkce největší resp. nejmenší hodnoty (pokud existuje). Největší resp. nejmenší lokální extrém se nazývá globální extrém. Nalezení extrému funkce je důležité při vyšetřování průběhu funkce. Zvláštním typem úloh je hledání extrému při splnění dalších omezujících podmínek, které musejí splňovat nezávisle proměnné funkce, tj. vázaného extrému.

Extrém funkce jedné proměnné

editovat

Funkce   má v bodě  :

  • lokální maximum, pokud existuje okolí   tak, že pro každé   je  
  • lokální minimum, pokud existuje okolí   tak, že pro každé   je  
  • ostré lokální maximum (extrém), pokud existuje okolí   tak, že pro každé   je  
  • ostré lokální minimum (extrém), pokud existuje okolí   tak, že pro každé   je  

Pokud je v bodě lokální extrém a první derivace v jistém okolí tohoto bodu existuje, pak je v tomto bodě nulová a v jistém levém resp. pravém okolí tohoto bodu je kladná resp. záporná (ostré lokální maximum) nebo naopak (ostré lokální minimum). Každá funkce může nabývat své největší nebo nejmenší hodnoty pouze ve stacionárních bodech, což je bod, ve kterém je první derivace funkce nulová.

Příklady nalezení extrému funkce

editovat

Příklad 1

editovat

Funkce y = x2 má první derivaci v x=0 nulovou, což znamená, že je tento bod stacionární. Druhou souřadnici získáme dosazením do původní rovnice. Nyní tedy hledáme první nenulovou derivaci. Zjistíme, že druhá (sudá) derivace této funkce je nenulová a je větší než nula. Bod [0, 0] je tedy lokální minimum. Protože funkce nemá žádné další extrémy, je tento bod i globálním minimem (nejmenší z lokální minim). Funkce nemá žádné globální maximum.

Příklad 2

editovat

Funkce y = x3 má první derivaci v bodě v počátku nulovou, což znamená, že je tento bod opět stacionární. První nenulová derivace je třetí, což je však liché číslo, takže nezáleží na tom, jestli je větší či menší než nula, a tento bod není lokálním extrémem, je to inflexní bod.

Příklad 3

editovat

Minimum funkce y = |x| nelze najít pomocí derivací, protože derivace v bodě [0, 0] neexistují.

Příklad 4

editovat

Funkce cos(x) má nekonečně mnoho ostrých lokálních maxim v 2kπ a nekonečně mnoho ostrých lokálních minim v (2k+1)π

Extrém funkce více proměnných

editovat

Funkce   má v bodě  :

  • lokální maximum, pokud existuje okolí   tak, že pro každé   je  
  • lokální minimum, pokud existuje okolí   tak, že pro každé   je  
  • ostré lokální maximum (extrém), pokud existuje okolí   tak, že pro každé   je  
  • ostré lokální minimum (extrém), pokud existuje okolí   tak, že pro každé   je  

Bod   je stacionárním bodem funkce, právě když existují všechny parciální derivace v tomto bodě a jsou nulové.

Pokud je determinant Hessovy matice (matice druhých parciálních derivací) funkce v bodě:

  • pozitivně definitní, pak je v bodě ostré lokální minimum.
  • negativně definitní, pak je v bodě ostré lokální maximum.
  • indefinitní, pak v bodě extrém nenastává.

Literatura

editovat
  • Průběh funkce: Extrémy. DOŠLÁ, Zuzana a Jaromír KUBEN. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. 2. vydání. Brno: Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity, 2012, s. 113-152. ISBN 978-80-210-5814-9.
  • Lokální a absolutní extrémy. DOŠLÁ, Zuzana a Ondřej DOŠLÝ. Diferenciální počet funkcí více proměnných. 3. vydání. Brno: Masarykova univerzita, 2010, s. 64-80. ISBN 978-80-210-4159-2.
  • BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 4. vyd. Praha: Academia, 1994. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. 

Externí odkazy

editovat