Otevřít hlavní menu
Průběh funkce

Pokud se snažíme zjistit alespoň přibližný tvar grafu funkce, hovoříme o tom, že vyšetřujeme průběh funkce. Při tom se zkoumají různé vlastnosti funkce a hledají se funkční body, které graf funkce dělí na intervaly mající příslušnou vlastnost. Při vyšetřování průběhu funkce se zajímáme o následující vlastnosti:

Na základě získaných výsledků vyšetřování průběhu funkce pak lze sestrojit graf.

Obsah

PříkladEditovat

Vyšetřujme průběh funkce  .

Zatímco   je definováno pro všechna reálná čísla, logaritmus je definován pouze pro  . Definičním oborem vyšetřované funkce tedy bude  .

Vzhledem k tomu, že funkce je definována pouze pro  , není periodická, ani lichá nebo sudá.

Pro limitu v bodě 0 určíme pomocí l'Hospitalova pravidla

 

Funkci lze tedy definovat také v bodě  , tzn. rozšířit definiční obor na  .

Průsečík s osou   získáme dosazením  , tedy  .

Průsečík s osou   získáme z rovnice  , která má řešení  .

První a druhá derivace funkce jsou

 
 

Funkce je rostoucí v intervalu, ve kterém platí  , což lze po dosazení zapsat jako  . Řešením získáme, že funkce je rostoucí pro  .

Funkce je klesající v intervalu, ve kterém platí  , tzn.  . Řešením získáme, že funkce je klesající pro  .

V bodě   je  . Tento bod je tedy stacionárním bodem. Již z rozložení intervalů monotonie lze určit, že se jedná o ostré lokální minimum, což lze ověřit dosazením do druhé derivace, neboť  . Hodnota funkce v tomto bodě je  .

Vzhledem k tomu, že   na celém definičním oboru funkce, je funkce konvexní ve všech bodech, kde je definována. Funkce nemá žádný inflexní bod.

Asymptoty k funkci neexistují, neboť  .

Graf vyšetřované funkce tedy bude mít následující průběh.

OdkazyEditovat

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat