Tečna ke křivce je přímka, která má v bodě dotyku stejný směrový vektor jako tato křivka[1]. Křivka může být zadána jako graf funkce jedné proměnné. Zpravidla (pro nelineární funkce) má tečna s křivkou lokálně v okolí bodu dotyku společný jeden bod a zpravidla (mimo inflexní body) leží okolní body křivky ve stejné polorovině určené tečnou.

Tečna funkce.
Tečna kružnice.

Tečna ke kuželosečceEditovat

Pro regulární kuželosečky (elipsa, parabola, hyperbola, kružnice) je možné zavést tečnu jako přímku, která má s kuželosečkou jeden dvojnásobný průsečík. Diskriminant kvadratické rovnice pro nalezení průsečíků je tedy nulový.

Středové rovnice kuželoseček a jejich tečen v bodě   jsou shrnuty v následující tabulce[2]. (Uvažujeme pouze regulární kuželosečky. Pro ostatní kuželosečky není potřebné pojem tečny zavádět, protože přímkové singulární kuželosečky jsou samy svojí tečnou a v ostatních případech tečnu neuvažujeme.)

Kuželosečka Středová rovnice kuželosečky Rovnice tečny v bodě  
Kružnice    
Elipsa    
Parabola    
Hyperbola    

Každým bodem ležícím vně kružnice lze vést dvě tečny k této kružnici. Každá tečna je kolmá k poloměru kružnice, proto používáme pro její sestrojení Thaletovu kružnici.

Poznámka. Přístup známý z analytické geometrie kuželoseček, kdy je tečna definována jako přímka mající s regulární kuželosečkou společný jeden bod, je nepřenositelný na obecnější křivky. Proto se obecnější definice tečny v diferenciální geometrii liší od zavedení tohoto pojmu v teorii kuželoseček.

Tečna ke grafu funkce dané explicitněEditovat

Diferencovatelná funkce   má v bodě   tečnu danou rovnicí

 
kde   je derivace funkce v bodě dotyku.

Poznámka (svislá tečna). Tento vztah je obvyklou definicí tečny v diferenciálním počtu funkce jedné proměnné. Nepokrývá však například skutečnost, že svislá přímka   je tečnou ke grafu funkce  .

 
Graf třetí odmocniny má v počátku svislou tečnu.

Poznámka (inflexní bod). Bod, kde se funkce mění z konvexní na konkávní se nazývá inflexní bod. V tomto bodě nezůstává graf funkce v jedné polorovině definované tečnou, ale přechází z jedné poloroviny do druhé.

 
V inflexním bodě graf funkce přechází z jedné poloroviny definované tečnou do druhé poloroviny.

Tečna ke grafu funkce dané implicitněEditovat

Funkce daná v okolí bodu   implicitně rovnicí   má v tomto bodě tečnu o rovnici

 

Poznámka (svislá tečna). Na rozdíl od předchozího odstavce, tento vztah již pokrývá skutečnost, že přímka   je tečnou ke grafu funkce  . K získání rovnice tečny stačí tento vztah přepsat do tvaru  

Tečna ke grafu parametrické funkceEditovat

Tečna ke grafu funkce dané parametricky rovnicemi

 
parametrické rovnice
 
V případě rovinných křivek se třetí rovnice neuplatní. V tomto případě bývá obvyklé rovnici psát v neparametrickém tvaru   kde   je bod dotyku. Tyto rovnice je výhodné zapsat i vektorově.

Poznámka. Rovnice tečny nezávisí na použité parametrizaci. Jinou parametrizací křivky můžeme dostat nejvýše jinou parametrizaci stejné tečny (tj. jinak dlouhý směrový vektor).

Zobecnění tečnyEditovat

Přesná formální definice tečny je založena na diferenciálním počtu na pojmu diferenciál. Dle míry zobecnění se definice při různých přístupech mohou lišit, ale v podstatě vždy vyjadřujeme definicí to, že tečnou rozumíme přímku, která má s křivkou společný jeden bod a vzdálenost křivky od přímky klesá při přibližování se k bodu dotyku rychleji než lineárně. Jedná se tedy vlastně o lineární aproximaci funkce, tj. lineární část obecné polynomické aproximace. V tomto smyslu je tečnu možné zobecnit na dotyk libovolného vyššího řádu libovolných dvou křivek. Toto je náplní diferenciální geometrie. Například výše uvedené ukázky svislé tečny a inflexního bodu jsou dotyky druhého řádu.


Související článkyEditovat

ReferenceEditovat

  1. KOLÁŘ, Ivan; POSPÍŠILOVÁ, Lenka. Diferenciální geometrie křivek a ploch [online]. Brno: Masarykova Univerzita [cit. 2022-06-06]. S. 11. Dostupné online. 
  2. ROBOVÁ, Jarmila, et al. Analytická geometrie: Portál středoškolské geometrie [online]. Praha: MFF UK [cit. 2022-06-06]. Dostupné online. 

Externí odkazyEditovat