Otevřít hlavní menu

Přímka

jednorozměrný, nekonečný geometrický objekt

Přímka je jednorozměrný základní geometrický útvar.

Lze ji popsat jako nekonečně tenkou, dvoustranně nekonečně dlouhou, dokonale rovnou křivku (pojem křivka v matematice zahrnuje i „rovné křivky“), tedy křivku s nekonečně velkým poloměrem zakřivení. V euklidovské geometrii pro každé dva body existuje právě jedna přímka, která oběma prochází. Tato přímka obsahuje nejkratší spojnici mezi dotyčnými body, úsečku z jednoho bodu do druhého.

Z fyzikálního hlediska je přímka trajektorie fotonu neovlivněného gravitací.

Speciální případ přímky je osa.

Znázornění a značeníEditovat

Přímka se znázorňuje rovnou čarou, označuje se malým písmenem, např.  . Přímka procházející dvěma body   bývá také značena  .

Znázornění:

 

Algebraický zápisEditovat

Přímku v rovině lze algebraicky popsat pomocí lineárních rovnic nebo lineárních funkcí.

Tento intuitivní koncept přímky lze formalizovat několika způsoby. Jestliže je geometrie postavena axiomaticky (jako v Eukleidových Základech a později ve Foundations of Geometry Davida Hilberta), potom přímky nejsou vůbec definovány, nýbrž axiomaticky charakterizovány svými vlastnostmi. „Vše, co splňuje axiomy pro přímku, je přímka.“ Zatímco Eukleidés definoval přímku jako „délku bez šířky“, ve svých pozdějších vývodech tuto mlhavou definici nepoužíval.

eukleidovském prostoru Rn (a analogicky ve všech ostatních vektorových prostorech) definujeme přímku L jako podmnožinu ve tvaru

 

kde a a b jsou vektoryRn a b je nenulové. Vektor b udává směr přímky a a je bod na přímce. Tutéž přímku lze definovat pomocí různých kombinací a a b.

Rovinná přímkaEditovat

R2 je každá přímka L popsaná lineární rovnicí, která může být zadána v různých tvarech.

Směrnicová rovnice přímkyEditovat

 
Ke směrnicové rovnici přímky.

Směrnicová rovnice přímky má tvar

 ,

kde   je tzv. směrnice přímky, přičemž   je orientovaný úhel s vrcholem v průsečíku přímky a první souřadnicové osy, jehož rameny jsou (kladně orientovaná) první osa souřadnicové soustavy a přímka, a   je tzv. úsek (vytnutý přímkou) na ose  , což je druhá souřadnice průsečíku přímky s osou  .

Pro   představuje rovnice přímky rostoucí funkci, pro   jde o funkci klesající. Pro   je přímka rovnoběžná s osou  . Je-li  , pak přímka prochází počátkem  .

Přímku rovnoběžnou s osou   nelze směrnicovou rovnicí vyjádřit.

Úseková rovnice přímkyEditovat

 
K úsekové rovnici přímky.

Úseková rovnice přímky má tvar

 ,

kde   je úsek (vytnutý přímkou) na ose   a   je úsek (vytnutý přímkou) na ose  .

Přímku rovnoběžnou s osou   nebo   nelze úsekovou rovnicí vyjádřit.

Normálová rovnice přímkyEditovat

 
K normálové rovnici přímky.

Normálovou rovnici přímky lze zapsat ve tvaru

 ,

kde   představuje vzdálenost počátku soustavy souřadnic   od přímky a   je velikost orientovaného úhlu, jehož rameno je první kladná poloosa souřadné soustavy a druhé rameno je polopřímka s počátkem v   vedená kolmo k přímce.

Členy   a   představují složky jednotkového vektoru kolmého k přímce.

Obecná rovnice přímkyEditovat

Obecná rovnice přímky v rovině je speciálním případem obecné rovnice nadroviny a má tvar

 ,

kde   jsou konstanty, přičemž   nebo  .

Pro   je přímka rovnoběžná s osou  , pro   je přímka rovnoběžná s osou  . Pro   prochází přímka počátkem.

Porovnáním obecné a normálové rovnice lze určit význam konstant  . Konstanty   určují vektor  , který je kolmý k přímce. Parametr   pak souvisí se vzdáleností přímky od počátku souřadné soustavy.

Obecnou rovnici přímky lze převést na rovnici směrnicovou, pokud zavedeme  , pro  . Zavedeme-li  , pro  , pak můžeme obecnou rovnici převést na úsekový tvar. Převedením obecné rovnice přímky do normálového tvaru získáme normálovou rovnici přímky ve tvaru

 

Důležité vlastnosti takto definovaných přímek jsou jejich sklon, průsečík s osou x a průsečík s osou y. Excentricita přímky je nekonečno.

Parametrické vyjádření přímkyEditovat

Parametrické vyjádření přímky je definováno vztahem:   a v rovině je tedy dáno rovnicemi

 
 

kde   je libovolný bod přímky,   jsou konstanty určující směrnici přímky, tedy vektor   je směrovým vektorem přímky a   je proměnný parametr. Alespoň jedna z konstant   musí být nenulová.

Vektorová rovnice přímkyEditovat

Vektorová rovnice přímky má tvar

 

kde   je rádiusvektor procházející všemi body přímky,   je rádiusvektor jednoho z bodů přímky,   je vektor určující směr přímky a   je proměnný parametr.

Vektorový zápis tedy představuje přehlednější zápis parametrického tvaru rovnice přímky.

Polární rovnice přímkyEditovat

V polárních souřadnicích lze přímku vyjádřit jako

 ,

kde   je vzdálenost přímky od počátku   a   je velikost orientovaného úhlu s vrcholem v počátku, jehož první rameno tvoří polární osa a druhé rameno polopřímka kolmá k přímce s počátkem v O.

Rovnice přímky určené bodemEditovat

Rovnice přímky se směrnicí   procházející bodem   je

 

Rovnice přímky procházející dvěma danými body   a  , kde  , má tvar

 

neboli

 

Předchozí rovnice bývá také vyjadřována ve formě determinantu

 

Tuto rovnici lze využít jako podmínku k určení, zda tři body   leží na jedné přímce. Tyto body leží na jedné přímce, je-li splněna podmínka

 

Prostorová přímkaEditovat

Přímkou v prostoru se nazývá množina bodů prostoru, které vyhovují rovnici přímky. Rovnici přímky v prostoru lze vyjádřit různými způsoby.

Obecná rovnice přímkyEditovat

R3 lze přímku L definovat jako průsečík dvou rovin, pomocí soustavy jejich lineárních rovnic:

 

(definici je nutné rozšířit o podmínky pro koeficienty   , které zaručí, že roviny budou různoběžné).

Přímka v prostoru je tedy řešením soustavy rovnic

 
 

Ve speciálním případě vyjádříme přímku jako průsečík dvou rovin, z nichž každá je kolmá k některé souřadnicové rovině, např. pro roviny kolmé k   a   dostaneme

 
 

Parametrické rovnice přímkyEditovat

Parametrické rovnice přímky v prostoru mají tvar

 
 
 

kde   je libovolný bod, kterým přímka prochází,   jsou konstanty určující směrnici přímky a   je parametr.

Konstanty   mohou být vyjádřeny prostřednictvím směrových úhlů   jako

 
 
 

Směrové úhly přitom splňují podmínku

 

Rovnice přímky určené bodemEditovat

Rovnici přímky procházející body   lze zapsat jako

 

Rovnici přímky procházející bodem   se směrovými úhly   lze zapsat jako

 

Pokud místo směrových úhlů určíme směrnici přímky parametry  , pak lze předchozí vztah přepsat jako

 

Přímka ve vícerozměrném prostoruEditovat

Přímku lze zavést také v n-rozměrném prostoru.

Parametrické vyjádřeníEditovat

Přímku v Rn lze také vyjádřit parametricky: přímka procházející bodem   se směrovým vektorem   je množina bodů  , pro které existuje skalár k takový, že

 

Vektorový tvarEditovat

Místo předchozího parametrického vyjádření lze použít vektorový zápis

 

Vzájemná poloha bodu a přímkyEditovat

Související informace naleznete také v článku Vzájemná poloha bodu a přímky.

Tři nebo více bodů, které leží na téže přímce, se nazývají kolineární.

Leží-li tři body na jedné přímce, pak vždy leží právě jeden z nich mezi ostatními dvěma. Leží-li bod   mezi body   a  , pak bod   označíme jako vnitřní bod úsečky  .

Bod   ležící na přímce   ji dělí na dvě polopřímky. Je-li bod   vnitřním bodem jedné z polopřímek, pak pro tuto polopřímku užíváme značení  . Opačnou polopřímku k polopřímce   značíme  .

Vzájemná poloha přímekEditovat

Související informace naleznete také v článku Vzájemná poloha dvou přímek.

Dvě různé přímky ležící v téže rovině mohou být buď rovnoběžné a nikdy se neprotnout (nemají žádný společný bod), nebo různoběžné a protnout se v právě jednom bodě, průsečíku. Dvě roviny se protínají v nejvýše v jedné přímce, průsečnici. Ve vícerozměrných prostorech ale nemusí ani být rovnoběžné, ani se protínat, a říká se jim mimoběžky.

Pokud jsou si obě přímky rovny, pak říkáme, že jde o přímky splývající (totožné).

Přímku různoběžnou s rovnoběžkami   označujeme jako příčku rovnoběžek  .

Průnik dvou polopřímek   a   se nazývá úsečkou a značí  .

Některé důležité přímkyEditovat

  • asymptota – přímka, ke které se blíží daná křivka, zejména graf funkce, pro nezávisle proměnnou rostoucí nade všechny meze
  • číselná osa – přímka s reálnými čísly přiřazenými každému jejímu bodu, užívaná např. jako souřadná osa
  • osa rotace – přímka, kolem níž rotuje (otáčí se) dané těleso nebo vůči které provádíme matematické otáčení tělesa
  • osa symetrie – přímka, ke které lze zrcadlově obrátit geometrický útvar a dostat tak útvar totožný
 
Eulerova přímka (červená) a osy stran (symetrály, zelené), těžnice (oranžové) a výšky (modré) v trojúhelníku
  • Eulerova přímka
  • Simsonova přímka
  • tečna – přímka dotýkající se křivky nebo plochy, prochází průběžným bodem (bodem dotyku) křivky (plochy) jednostranně, neprotíná ji v něm
  • normála – kolmice k tečně v bodě dotyku křivky, laicky "kolmice ke křivce"
  • kolmice - přímka pravoúhle skloněná k dané přímce nebo rovině
  • těžnice – přímka procházející vrcholkem trojúhelníku a středem protilehlé strany, půlící jeho plochu

LiteraturaEditovat

  • Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, ISBN 978-80-7358-083-4, str. 8-9
  • Šárka Voráčová a kolektiv: Atlas geometrie – Geometrie krásná a užitečná, Academia, Praha 2012, ISBN 978-80-200-1575-4, str. 12

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat