Otevřít hlavní menu

Trojúhelník

geometrický útvar mající tři vrcholy a tři strany
Tento článek je o geometrii. Další významy jsou uvedeny na stránce Trojúhelník (rozcestník).

Trojúhelník je geometrický útvar určený třemi body, neležícími v jedné přímce.

Jednou ze základních vlastností trojúhelníku v „obyčejné“ euklidovské rovině je skutečnost, že součet velikostí jeho vnitřních úhlů je roven 180° (π v obloukové míře). Naproti tomu sférický trojúhelník na kulové ploše má součet velikostí vnitřních úhlů vždy větší než 180° a trojúhelník v hyperbolické (Lobačevského) rovině vždy menší než 180°.

Vlastnosti trojúhelníku tedy podstatně závisí na geometrických vlastnostech roviny, v níž leží. Následující poznatky platí většinou jen pro trojúhelník v euklidovské rovině.

Obsah

Základní pojmyEditovat

 
Trojúhelník ABC s vrcholy A, B, C a stranami a, b, c

Úsečky, které spojují vrcholy, se nazývají strany trojúhelníku. Úhly, které svírají strany, se nazývají vnitřní úhly trojúhelníku. Úhly vedlejší k vnitřním úhlům, se nazývají vnější úhly trojúhelníku. Každý trojúhelník má 3 strany, 3 vnitřní úhly, 6 vnějších úhlů (u každého vrcholu dva).Trojúhelník nemá úhlopříčky.

Znázornění a zápisEditovat

Trojúhelník se znázorňuje pomocí jeho vrcholů a stran. Vrcholy se označují velkým tiskacím písmenem, strany se označují malým písmenem příslušným protějšímu vrcholu, úhly se označují malým řeckým písmenem. Trojúhelník se zapisuje symbolem Δ následovaným výčtem všech vrcholů.

Konstrukce trojúhelníkuEditovat

Podrobnější informace naleznete v článku Konstrukce trojúhelníku.

Trojúhelník může být určen:

  • (sss) délkou všech tří stran,
  • (sus) délkou dvou stran a velikostí úhlu, který svírají,
  • (usu) délkou strany a velikostí úhlů, které k ní přiléhají,
  • (Ssu) délkou dvou stran a velikostí úhlu proti větší z nich.

Ke konstrukci trojúhelníku se mohou použít i výšky, těžnice atd.

Vlastnosti trojúhelníkuEditovat

 
Vnitřní úhly: α, β, γ
vnější úhly: α’, β’, γ’ a α’’, β’’, γ’’

Strany trojúhelníku splňují trojúhelníkové nerovnosti:

Součet dvou libovolných stran trojúhelníku je vždy delší než strana třetí, neboli

a + b > c
a + c > b
b + c > a
 
 
 

Součet všech vnitřních úhlů je v každém trojúhelníku 180°. Součet vnitřního a příslušného vnějšího úhlu je 180°. Součet dvou vnitřních úhlů se rovná vnějšímu úhlu u zbývajícího vrcholu. Proti většímu úhlu leží větší strana.

α + α’ = β + β’ = γ + γ’ = 180°
α + β = γ’
α + γ = β’
β + γ= α’
α + β + γ = 180°
α’ + β’ + γ’ = 360°
 
 
 
 

Obecný trojúhelník není osově ani středově souměrný, některé druhy trojúhelníků mohou být osově souměrné např.: rovnoramenný a rovnostranný trojúhelník.

Vztahy mezi úhly a stranami určují sinová, kosinová a tangentová věta.

Zavedeme-li veličinu  , pak lze velikosti vnitřních úhlů určit ze vztahů

 
 
 
 
 
 

Druhy trojúhelníkůEditovat

Podle stranEditovat

     
Obecný Rovnostranný Rovnoramenný

Podle úhlůEditovat

     
Ostroúhlý Pravoúhlý Tupoúhlý

Důležité přímky a úsečky trojúhelníkuEditovat

VýškaEditovat

 

Výška je úsečka, jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhelníku a pata kolmice vedené tímto vrcholem na protější stranu(nebo stručně řečeno kolmice na vrchol z protější strany). Průsečík výšky s příslušnou stranou se nazývá pata výšky. Každý trojúhelník má tři výšky. Přímky, na nichž leží výšky, se protínají v jednom bodě, který se nazývá ortocentrum. Ortocentrum leží buď uvnitř trojúhelníku, pokud je ostroúhlý, nebo u pravoúhlého trojúhelníka splývá s jeho vrcholem, při němž je pravý úhel anebo leží vně u tupoúhlého trojúhelníku. Spojnice jednotlivých pat výšek tvoří ortický trojúhelník. Pravoúhlý trojúhelník svůj ortický trojúhelník nemá, protože jeho dvě paty výšek splývají. Ortocentrum ostroúhlého trojúhelníku je středem kružnice vepsané jeho ortickému trojúhelníku; ortocentrum tupoúhlého trojúhelníku je středem jedné z kružnic připsaných jeho ortickému trojúhelníku. Výšky se označují malým písmenem v s dolním indexem příslušné strany.

Pro výšky trojúhelníku platí

 

Velikosti výšek jsou určeny vztahy

 
 
 

TěžniceEditovat

 

Těžnice je úsečka, jejímiž krajními body jsou střed strany a protilehlý vrchol trojúhelníku. Každý trojúhelník má tři těžnice. Těžnice se protínají v jednom bodě, který se nazývá těžiště. Těžiště rozděluje každou těžnici na dva díly v poměru 2 : 1, přitom vzdálenost těžiště od vrcholu je dvojnásobek vzdálenosti od středu protější strany. Každá těžnice rozděluje trojúhelník na dva díly se stejným obsahem. Těžnice se označují malým písmenem t s dolním indexem příslušné strany, těžiště se označuje písmenem T. Těžiště a dva vrcholy trojúhelníku tvoří postupně tři trojúhelníky (ABT, ACT, CBT), všechny tři mají stejný obsah.

Délky těžnic jsou

 
 
 

Střední příčkaEditovat

 

Střední příčka je spojnice středů dvou stran (dvou pat těžnic). Každý trojúhelník má tři střední příčky. Střední příčka je rovnoběžná s příslušnou stranou a má velikost poloviny příslušné strany. Střední příčky dohromady rozdělují trojúhelník na čtyři shodné trojúhelníky – příčkový trojúhelník a tři trojúhelníky při jednotlivých vrcholech. Těžiště trojúhelníku je zároveň těžištěm jeho příčkového trojúhelníku. Střední příčky se označují malým písmenem s.

SymediánaEditovat

Symediána je osově souměrný obraz těžnice podle osy příslušného úhlu (např. symediána těžnice z vrcholu A podle osy úhlu při vrcholu A). Každý trojúhelník má tři symediány. Všechny symediány trojúhelníku se protínají v jednom bodě, který se nazývá Lemoinův bod. Lemoinův bod leží uvnitř trojúhelníku a platí pro něj, že má ze všech vnitřních bodů trojúhelníku nejmenší součet čtverců vzdáleností od stran trojúhelníku. Pokud Lemoinovým bodem vedeme rovnoběžky s jednotlivými stranami, všechny průsečíky těchto rovnoběžek se stranami (je jich šest) leží na kružnici, která se nazývá první Lemoinova kružnice. Střed první Lemoinovy kružnice je středem úsečky spojující Lemoinův bod a střed kružnice opsané.

Osy úhlůEditovat

 
Výška, osa úhlu a těžnice v trojúhelníku.

Osa vnitřního úhlu se dělí na polovinu vnitřní úhel a současně protější stranu dělí v poměru délek přilehlých stran. Osa vnějšího úhlu dělí na polovinu vnější úhel. Na obrázku je osa vnitřního úhlu  , osa vnějšího úhlu   a také těžnice   a výška   z vrcholu  . Podobně lze získat osy i u ostatních vrcholů.

Třetiny úhlůEditovat

 
Morleyův trojúhelník je rovnostranný. Vytváří ho přímky dělící vnitřní úhly na třetiny.

Pokud jednotlivé vnitřní úhly rozdělíme přímkami na tři stejné díly (trisekce úhlu), průsečíky těchto přímek (vždy těch dvou, které jsou bližší dané straně trojúhelníku) vždy tvoří rovnostranný trojúhelník (Morleyova věta).

Osy stranEditovat

Osa strany je kolmice vedená ze středu strany. Osy stran se protínají v jednom bodě (tento bod má stejnou vzdálenost od všech tří vrcholů trojúhelníka).

Eulerova přímkaEditovat

Eulerova přímka je přímka, která prochází těžištěm a ortocentrem nebo středem přímky. Na Eulerově přímce leží i střed kružnice opsané a střed kružnice devíti bodů. V rovnostranném trojúhelníku těžiště a ortocentrum splývají, takový trojúhelník Eulerovu přímku nemá.

Gaussova přímkaEditovat

 
Gaussova přímka

Pokud přímka p protíná přímky, na nichž leží strany trojúhelníku, v bodech X, Y, Z, pak středy úseček AX, BY, CZ leží na přímce. Tato přímka se nazývá Gaussova přímka.

Kružnice opsaná, vepsaná a připsanáEditovat

 
Opsaná kružnice

Kružnice opsaná trojúhelníku je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Každému trojúhelníku lze opsat kružnici. Střed kružnice opsané leží v průsečíku os stran, poloměr se rovná vzdálenosti středu od libovolného vrcholu. Spojnice středu kružnice opsané a jednotlivých vrcholů trojúhelníku jsou kolmé k jednotlivým stranám jeho ortického trojúhelníku (tzv. Nagelova věta).

Velikost poloměru opsané kružnice určuje vztah

 
 
Vepsaná kružnice

Kružnice vepsaná trojúhelníku je kružnice, která se dotýká všech stran trojúhelníku. Každému trojúhelníku lze vepsat kružnici. Střed kružnice vepsané leží v průsečíku os vnitřních úhlů, poloměr se rovná kolmé vzdálenosti středu od libovolné strany.

Pro poloměr kružnice vepsané platí

 

Vzdálenost mezi středy kružnice vepsané a opsané je

 

Kružnice připsaná trojúhelníku je kružnice, která se dotýká jedné strany trojúhelníku a dvou přímek, které jsou prodloužením zbývajících stran trojúhelníku. Střed kružnice připsané leží v průsečíku osy jednoho vnitřního úhlu a dvou vnějších úhlů při zbývajících dvou vrcholech. Každý trojúhelník má tři kružnice připsané.

Obvod a obsahEditovat

Obvod trojúhelníku o se vypočte jako součet všech jeho stran:

o = a + b + c , kde a, b, c jsou strany trojúhelníku

Obsah trojúhelníku S se vypočte jako polovina součinu libovolné strany a k ní příslušné výšky:

S = z × v / 2 , kde v je výška příslušná straně z

Pokud není známá příslušná výška, je možné obsah trojúhelníku vypočítat podle Heronova vzorce

s = o / 2 kde o je obvod trojúhelníku
S =  

Obsah trojúhelníku pomocí poloměru kružnice opsané ( ):

 

Obsah trojúhelníku pomocí poloměru kružnice vepsané ( ):

 

Obsah trojúhelníku pomocí vnitřního úhlu:

 
 
Trojúhelník_ABC-D

Obsah obecného trojúhelníku v rovině kde (ax,ay), (bx,by), (cx,cy) jsou souřadnice vrcholů (vychází z vektorového součinu, použití hlavně v grafice):

 

nebo:

 

Použije-li se předcházející vzorec bez absolutní hodnoty, lze jej využít pro ověření zda bod (dx,dy) leží uvnitř trojúhelníku ABC. V případě, že leží, tak znaménka obsahů všech čtyř trojúhelníků ABC, ABD, BCD a CAD jsou stejná. Leží-li vně, nemají všechny obsahy stejné znaménko. To je kladné obíhájí-li vrcholy ve směru hodinových ručiček.

Věty o trojúhelníkuEditovat

V trojúhelníku platí mnohé věty, vzorce, poučky. Např.

V pravoúhlém trojúhelníku navíc:

Obsah čtverce nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku je roven součtu obsahů čtverců nad oběma odvěsnami.

vzorec: c² = a² + b²

OdkazyEditovat

LiteraturaEditovat

  • ŠVRČEK, Jaroslav; VANŽURA, Jiří. Geometrie trojúhelníka. Praha: Nakladatelství technické literatury, 1988. 

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat