Monotónní funkce

(přesměrováno z Klesající funkce)

Monotonie je vlastnost, označující, zda je funkce v bodě či na daném intervalu monotónní, tzn. zda je konstantní, rostoucí, klesající, příp. nerostoucí, či neklesající.

Příklad monotonní funkce

Tato vlastnost bývá někdy označována jako monotonnost, popř. monotonicita.

Monotonie lokální (v bodě): Funkce je v bodě a rostoucí, jestliže existuje nějaké okolí U(a) bodu a takové, že pro všechna v tomto okolí platí:

.

Obdobně je funkce klesající, pokud

,

nerostoucí pro

,

a neklesající pro

.

Monotonie globální (na intervalu): Funkce je na intervalu rostoucí, jestliže pro všechna z tohoto intervalu platí:

.

Obdobně je funkce na klesající, pokud

,

nerostoucí pokud

,

a neklesající pokud

.

Na obrázku je funkce rostoucí (a zároveň neklesající) například v intervalu , klesající (a zároveň nerostoucí) například v intervalu .

Monotónní funkceEditovat

Mezi monotónní funkce řadíme funkce:

  • konstantní funkce, tzn. pro každé   z definičního oboru funkce   platí  
  • ostře rostoucí funkce, tzn. pro každé   z definičního oboru funkce   platí  
  • ostře klesající funkce, tzn. pro každé   z definičního oboru funkce   platí  
  • neklesající funkce, tzn. pro každé   z definičního oboru funkce   platí  
  • nerostoucí funkce, tzn. pro každé   z definičního oboru funkce   platí  

Rostoucí a klesající funkce označujeme jako ryze monotonní na daném intervalu. Interval, na kterém je funkce ryze monotónní, se nazývá interval monotonie.

K vyšetření monotonie funkce   v bodě   lze využít první derivace   funkce (pokud existuje), přičemž platí následující implikace (které nelze obrátit):

  • Jestliže  , pak   je v bodě   rostoucí.
  • Jestliže  , pak   je v bodě   klesající.
  • Jestliže   je v bodě   neklesající, pak  .
  • Jestliže   je v bodě   nerostoucí, pak  .

TerminologieEditovat

Bohužel, existuje ještě alternativní terminologie, která se trochu nešťastně překrývá s tou výše představenou. Funkce se dle této alternativní terminologie nazývá:

  • ryze rostoucí pokud je rostoucí dle definice výše,
  • rostoucí pokud je neklesající dle…,
  • ryze klesající pokud je klesající dle…,
  • klesající pokud je nerostoucí dle terminologie výše.

Pokud tedy v knize či na Internetu najdete tvrzení s výrazem "rostoucí", pak není jasné, co se tím myslí, bez nahlédnutí do autorových definic těchto pojmů. V některých větách toto hraje roli. Naštěstí mnoho vět pracuje s pojmy "monotonní" a "ryze monotonní", na kterých se terminologie shodují.

Je těžké říct, která terminologie je rozšířenější, podobná situace je mimochodem i v terminologii anglické. Pro čtenáře to každopádně znamená nutnost být ostražitý.

Související článkyEditovat