Otevřít hlavní menu

Funkci na definičním oboru označujeme jako prostou na , pokud pro každé dvě hodnoty z platí .


Respektive pro dvě různá "x" existují dvě různé hodnoty "y". Neprostou funkcí je například funkce y=x^2, kde pro x=-2 i x=2 existuje jediná hodnota y=4.

Z čehož plyne i navazující podmínka o monotónnosti, pokud bude funkce neustále růst nebo neustále klesat (bude ryze monotonní), nemůže dojít k tomu, že se pro různá "x" dostane funkce do stejné hodnoty "y". Pokud však bude funkce při posunu na ose "x" směrem zleva doprava pro hodnotu "y" chvíli růst a chvíli klesat, pak se na "y" může dostat do totožných hodnot, např. y=1,2,3,4 (funkce roste); y=4,3,2,1 (funkce začne po dosažení hodnoty 4 klesat), přičemž vidíme, že funkce se na "y" dostala do stejných hodnot 4,4; 3,3... čili není prostá právě proto, že neustále nerostla, nebo neustále neklesala.


Jde ve skutečnosti o "postačující podmínku", jelikož to, že je funkce ryze monotónní postačuje k tomu, aby byla "za všech okolností" prostá, čímž se nevylučuje, že bude prostou i za jiných okolností.

Postačující podmínku tedy chápeme tak, že pokud je tvrzení "a" postačující podmínkou pro tvrzení "b", pak vždy pokud je tvrzení "a" pravdivé, je pravdivé i tvrzení "b" (pokud je funkce "monotónní", pak je i "prostá").


Nicméně pokud nebude funkce spojitá (například na "y" bude určitý skok ve funkci), pak může "y" chvíli růst a pak začít klesat a přesto bude prostá. Například funkce daná body y=1,2,3,4 (roste); y=3+1/2, 2+1/2, 1+1/2, 1/2(funkce začne po růstu klesat). Vidíme, že tato funkce není monotónní a přesto je prostá, hlavně díky tomu, že není spojitá. Monotónnost je tedy "postačující" podmínkou, nikoliv "nutnou" podmínkou.


Nutnou podmínkou prosté funkce je "monotónnost" pouze pro "spojité funkce", ty pokud začnou například růst a poté klesat, nutně již nebudou prosté (dvěma hodnotám "x" bude patřit stejná hodnota "y"), proto je u "spojitých funkcí" monotónnost nutná podmínka k tomu, aby byly takovéto funkce prosté.

Respektive "nutnou podmínkou" se rozumí to, že pokud nebude splněno tvrzení "a", pak nebude splněno ani tvrzení "b". Platnost tvrzení "a" automaticky neznamená platnost tvrzení "b".

U spojitých funkcí je monotónnost nutnou podmínkou k tomu, aby byla funkce prostá. (Pokud bude spojitá funkce ryze monotónní, pak bude i prostá, pokud takováto funkce ryze monotónní nebude, nebude ani prostá)

Postačující podmínkaEditovat

Pokud je funkce   na   ostře monotonní, pak je na   také prostá.

VlastnostiEditovat

K prosté funkci existuje funkce inverzní.

Související článkyEditovat