Prostá funkce
Prostá funkce je v matematice funkce, která žádnou funkční hodnotu nenabývá vícekrát. Je to důležitá vlastnost spojená s řešením rovnic, protože nás informuje o tom, že rovnice mající na jedné straně prostou funkci a na druhé straně funkční hodnotu nemá více než jedno řešení. Tuto informaci je důležité mít například před použitím numerických metod řešení rovnic.
Definice Editovat
Funkci na definičním oboru označujeme jako prostou na , pokud pro každé dvě hodnoty z platí , tedy pro libovolnou dvojici různých jsou různé i hodnoty funkce .
Příklad Editovat
Příkladem prosté funkce je např. libovolná lineární funkce s nenulovým koeficientem – vynásobení stejným nenulovým číslem a přičtení stejného čísla ke dvěma různým číslům nemůže nikdy vést ke stejnému výsledku. Naopak příkladem neprosté funkce je druhá mocnina , neboť např. .
Vlastnosti Editovat
Pokud je funkce na ostře monotonní (tedy její hodnoty neustále rostou nebo neustále klesají), pak je na také prostá, neboť se v žádném jiném bodu nemůže vrátit do stejného výsledku. Opačné tvrzení (tedy že pokud je funkce prostá, pak je i ostře monotonní) platí pouze pro spojité funkce, u nichž nemůže dojít ke "skokovým" změnám funkčních hodnot; pro tyto funkce jsou tak tvrzení o prostosti a ostré monotonicitě ekvivalentní.
Mezi funkcemi nespojitými však existují případy prostých funkcí, které ostře monotonní nejsou. Např. prostá funkce je na množině rostoucí, zatímco na množině klesající, a na svém celém definičním oboru tedy není monotonní.
Souvislost s inverzní funkcí Editovat
K prosté funkci existuje funkce inverzní – např. k funkci exponenciální je inverzní funkcí logaritmus. Funkcím, které nejsou prosté, nelze inverzní funkci přiřadit; pokud jsou však prosté na určité podmnožině svého definičního oboru, lze je invertovat na této podmnožině – takto je např. druhá odmocnina inverzní funkcí k druhé mocnině na intervalu , protože druhá mocnina je na tomto intervalu prostá.
