Prostá funkce

Funkci na definičním oboru označujeme jako prostou na , pokud pro každé dvě hodnoty z platí , tedy pro libovolnou dvojici různých jsou různé i hodnoty funkce .

Příkladem prosté funkce je např. libovolná lineární funkce s nenulovým koeficientem – vynásobení stejným nenulovým číslem a přičtení stejného čísla ke dvěma různým číslům nemůže nikdy vést ke stejnému výsledku. Naopak příkladem neprosté funkce je druhá mocnina , neboť např. .

Pokud je funkce na ostře monotonní (tedy její hodnoty neustále rostou nebo neustále klesají), pak je na také prostá, neboť se v žádném jiném bodu nemůže vrátit do stejného výsledku. Opačné tvrzení (tedy že pokud je funkce prostá, pak je i ostře monotonní) platí pouze pro spojité funkce, u nichž nemůže dojít ke "skokovým" změnám funkčních hodnot; pro tyto funkce jsou tak tvrzení o prostosti a ostré monotonicitě ekvivalentní.

Mezi funkcemi nespojitými však existují případy prostých funkcí, které ostře monotonní nejsou. Např. prostá funkce je na množině rostoucí, zatímco na množině klesající, a na svém celém definičním oboru tedy není monotonní.

K prosté funkci existuje funkce inverzní – např. k funkci exponenciální je inverzní funkcí logaritmus. Funkcím, které nejsou prosté, nelze inverzní funkci přiřadit; pokud jsou však prosté na určité podmnožině svého definičního oboru, lze je invertovat na této podmnožině – takto je např. druhá odmocnina inverzní funkcí k druhé mocnině na intervalu , protože druhá mocnina je na tomto intervalu prostá.

Související článkyEditovat