Prostá funkce

Prostá funkce je v matematice funkce, která žádnou funkční hodnotu nenabývá vícekrát. Je to důležitá vlastnost spojená s řešením rovnic, protože nás informuje o tom, že rovnice mající na jedne straně prostou funkci a na druhé straně funkční hodnotu nemá více než jedno řešení. Tuto informaci je důležité mít například před použitím numerických metod řešení rovnic.

DefiniceEditovat

Funkci   na definičním oboru   označujeme jako prostou na  , pokud pro každé dvě hodnoty   z   platí  , tedy pro libovolnou dvojici různých   jsou různé i hodnoty funkce  .

PříkladEditovat

Příkladem prosté funkce je např. libovolná lineární funkce s nenulovým koeficientem   – vynásobení stejným nenulovým číslem a přičtení stejného čísla ke dvěma různým číslům nemůže nikdy vést ke stejnému výsledku. Naopak příkladem neprosté funkce je druhá mocnina  , neboť např.  .

VlastnostiEditovat

Pokud je funkce   na   ostře monotonní (tedy její hodnoty neustále rostou nebo neustále klesají), pak je na   také prostá, neboť se v žádném jiném bodu nemůže vrátit do stejného výsledku. Opačné tvrzení (tedy že pokud je funkce prostá, pak je i ostře monotonní) platí pouze pro spojité funkce, u nichž nemůže dojít ke "skokovým" změnám funkčních hodnot; pro tyto funkce jsou tak tvrzení o prostosti a ostré monotonicitě ekvivalentní.

Mezi funkcemi nespojitými však existují případy prostých funkcí, které ostře monotonní nejsou. Např. prostá funkce   je na množině   rostoucí, zatímco na množině   klesající, a na svém celém definičním oboru tedy není monotonní.

Souvislost s inverzní funkcíEditovat

K prosté funkci existuje funkce inverzní – např. k funkci exponenciální je inverzní funkcí logaritmus. Funkcím, které nejsou prosté, nelze inverzní funkci přiřadit; pokud jsou však prosté na určité podmnožině svého definičního oboru, lze je invertovat na této podmnožině – takto je např. druhá odmocnina inverzní funkcí k druhé mocnině na intervalu  , protože druhá mocnina je na tomto intervalu prostá.

Související článkyEditovat