Otevřít hlavní menu

Křivka

obraz prosté, spojité a regulární vektorové funkce
Tento článek je o geometrickém útvaru. Další významy jsou uvedeny na stránce Křivka (rozcestník).

Křivka je v matematice geometrický jednorozměrný objekt, případně zobrazení z úsečky do nějakého matematického prostoru (tzv. parametrizovaná křivka). Jednoduchý příklad křivky je například kružnice nebo přímka.

Formální definiceEditovat

Je-li M nějaký matematický prostor (například Eukleidovský prostor, varieta, topologický prostor) a I interval reálných čísel, pak křivkou   rozumíme spojité zobrazení z I do M. Toto se někdy také nazývá parametrické vyjádření křivky. Pokud má smysl mluvit o derivaci k (t.j. pokud cílový prostor je Eukleidovský prostor nebo hladká varieta a derivace existuje v každém bodě), nazývá se křivka hladká, anebo diferencovatelná. Hladká křivka je regulární, pokud její derivace není v žádném bodě nulová. Křivka se nazývá uzavřená, pokud I je uzavřený interval [a,b] a  . Množina   se nazývá (geometrický) obraz křivky. Mají-li složky   křivky k na otevřeném intervalu   spojité derivace až do  -tého řádu, pak říkáme, že se jedná o křivku  -té třídy. Má-li křivka všechny derivace, říkáme někdy, že je třídy nekonečno, neboli nekonečně diferencovatelná.

Někdy se slovem křivka myslí jenom obraz křivky (v dřívější definici), t.j. množina bodů. Toto se někdy také nazývá neparametrická křivka.

Rovinná křivkaEditovat

Rovinnou křivkou rozumíme zobrazení

 
 

pro  , kde   a   jsou spojité funkce.

Předpokládáme obvykle, že funkce   jsou na intervalu   spojité a mají na tomto intervalu po částech spojité derivace  . Někdy se předpokládá, že funkce   jsou pouze spojité, pak se ale může stát že obraz křivky je celý čtverec.

Křivka je regulární, pokud pro žádné   nejsou derivace   současně nulové. Křivku, která neprotíná sama sebe (tj. je prostá) označujeme jako jednoduchou. Pokud platí současně  , tzn. počáteční bod křivky splývá s bodem koncovým, pak křivku označíme jako uzavřenou.

Rovnici obrazu rovinné křivky lze často vyjádřit ve formě funkční závislosti proměnných  , tzn.

 ,

popř. implicitně

 .

Křivku označíme jako rektifikovatelnou, pokud má konečnou délku, kterou lze vyjádřit jako

 

Někdy se také slovem křivka myslí množina bodů  [zdroj?].

Jordanova křivkaEditovat

Jednoduchou uzavřenou rektifikovatelnou křivku (která nemusí být po částech hladká) označujeme jako Jordanovu křivku. Jordanova křivka je uzavřená, takže rozděluje rovinu na dvě souvislé oblasti. Tu, která je omezená označujeme jako vnitřek křivky (nebo Jordanovu oblast), zbytek roviny pak jako vnějšek křivky.

Orientace křivkyEditovat

Na neparametrické hladké křivce (t.j. množině, která je obrazem parametrické hladké křivky) můžeme zvolit dvě orientace, což je volba směru, kterým se křivka pohybuje. Formálněji to je volba báze jejího (jednorozměrného) tečného prostoru v každém bodě. Tvoří-li uzavřená křivka hranici určité oblasti  , pak řekneme, že je kladně orientovaná vzhledem k  , pokud oblast   zůstává po levé straně křivky (při pohybu po kladně orientované křivce jde o pohyb proti směru hodinových ručiček). Formálněji, křivka je kladně orientována, pokud normálový vektor k oblasti   a tečný vektor ke křivce určen její orientací tvoří kladnou bázi tečného prostoru (souřadnice těchto vektorů napsány ve sloupcích vedle sebe tvoří matici, která má kladný determinant). V opačném případě se jedná o záporně orientovanou křivku.

Příklady rovinných křivekEditovat

Prostorová křivkaEditovat

Prostorovou křivkou rozumíme zobrazení

 
 
 

pro  , kde x, y a z jsou spojité funkce.

Uvedené rovnice křivky bývají obvykle zapisovány ve vektorovém tvaru

 ,

kde   představuje rádiusvektor.

Křivku v prostoru lze také zadat jako průnik dvou ploch, např.

 
 

nebo

 
 

Jsou-li rovnice popisující křivku algebraické, pak křivku označujeme jako algebraickou. Pokud uvedené rovnice nejsou algebraické, pak říkáme, že křivka je transcendentní.

Někdy se také slovem křivka myslí množina bodů  .

Příklady prostorových křivekEditovat

Oblouk křivky[zdroj?]Editovat

Obloukem křivky   od bodu   do bodu   se nazývá délka části křivky mezi k(t_0) a k(t). Pokud je křivka diferencovatelná (t.j. k má derivace), dá se spočíst vzorcem

 

kde   je i-tá složka křivky.

Diferenciál

 

nazýváme diferenciál (prvek, element) oblouku nebo lineární prvek (element) křivky[zdroj?].

Křivky vyplňující prostorEditovat

Obrazem křivky můžou být i množiny, které mají větší topologickou dimenzi než jedna. Kupříkladu Hilbertova křivka je spojité zobrazení úsečky na čtverec, t.j. spojitá křivka, která vyplní celý (dvourozměrný) čtverec.

Na obrázku je prvních 6 iterací konstrukce Hilbertovy křivky. Hilbertova křivka je pak limitou těchto křivek. Je spojitá, ale není prostá. Její složky jsou spojité funkce, které nemají derivaci v žádném bodě. Jiný známý příklad křivky, která vyplní čtverec je Sierpińského křivka.

Klasifikace, který topologický prostor je spojitým obrazem intervalu [0,1], řeší Hahn-Mazurkiewiczova věta:

Speciálně tedy každá kompaktní souvislá varieta se dá „vyplnit“ křivkou.

PříkladyEditovat

OdkazyEditovat