Délka křivky

matematická abstrakce fyzikálních pojmů délky a dráhy

Délka je v matematice vlastnost, kterou lze přiřadit úsečkám, křivkám a jejich parametrizacím. Jedná se o matematickou abstrakci fyzikálních pojmů délky nebo dráhy.

Délka úsečkyEditovat

Nechť jsou   a   dva body v (dvourozměrné) rovině ( ) s kartézskými souřadnicemi   a  . Pak je délka úsečky   podle Pythagorovy věty

 

V trojrozměrném prostoru ( ) se souřadnicemi   a   podobně platí

 

To lze analogicky rozšířit i na vyšší dimenze - počet sčítanců pod odmocninou odpovídá dimenzi prostoru, v němž úsečku uvažujeme. V zásadě lze tyto vzorce zobecnit dvěma způsoby:

  • Buď interpretujeme délku úsečky   jako délku vektoru   a definujeme délky pro vektory. Odpovídající zobecněný koncept délky pro vektory se nazývá norma.
  • Ještě obecněji můžeme uvažovat místo délek vektorů libovolný (v jistém smyslu rozumný) předpis, který dvojici bodů přiřadí vzdálenost mezi nimi. Takovým nejobecnějším vzdálenostem se říká metriky.

Délky parametrizovaných křivekEditovat

Parametrizace (parametrizovaná křivka) je spojité zobrazení   z intervalu do topologického prostoru  . Aby jí bylo možné přiřadit délku, musí mít tento prostor další strukturu. V nejjednodušším případě je   rovina   nebo trojrozměrný prostor   s obvyklou definicí délky úseček; zobecnění je možné pro Riemannovy prostory nebo jakékoli metrické prostory. Délku parametrizace   označme  .

V rovině a v třírozměrném prostoruEditovat

Parametrizace v rovině nebo v prostoru je dána dvěma nebo třemi souřadnicovými funkcemi:

  nebo   pro   .

Pro parametrizace, které jsou po částech spojitě diferencovatelné, je délka definována integrálem po celém rozpětí parametru:

  nebo  

MotivaceEditovat

Rovinná křivka parametrizovaná jako   se dá aproximovat krátkými úsečkami  , který jsou určeny dvěma složkami   a   rovnoběžnými s osami souřadnic. Podle Pythagorovy věty je  , jak bylo popsáno výše. Celková délka křivky je přibližně rovna součtu všech přímek:

 

Pokud předpokládáme konvergenci výrazu pro   jdoucí k nule, pak je délka   součet všech infinitesimálně malých přímek, takže:

  .

Fyzikálně (kinematicky) lze integrand také chápat jako příspěvek okamžité rychlosti tělesa pohybujícího se po zkoumané dráze a integrační proměnnou jako čas. To je asi nejsrozumitelnější motivace této definice délky parametrizace.

PříkladyEditovat

Kruh s poloměrem  

  pro  
má délku
 
Při úpravě integrandu se využilo to, že součet čtverců sinu a kosinu stejného argumentu je roven jedné.

Úsek šroubovice s poloměrem   a výškou závitu  

 
má délku
 

Speciální případyEditovat

Délka grafu funkceEditovat

Mějme funkcí   spojitě diferencovatelnou na  ; délka   grafu této funkce mezi body   a   se vypočítá:

 
protože můžeme použít parametrizaci   pro  .

Příklad: Obvod kruhu lze určit pomocí   takto: Kružnice s poloměrem   splňuje rovnici   neboli   Derivace je:   .

Použitím vzorce   máme:

 

Polární souřadniceEditovat

Mějme rovinnou křivku v polárních souřadnicích  , tedy

  pro   ,

přičemž podle pravidla pro derivaci součinu dostaneme

 

a

  ,

takže

  .

Délka křivky parametrizované v polárních souřadnicích je proto

  .

Riemannovy prostoryEditovat

Je-li obecně   po částech diferencovatelná křivka v Riemannově prostoru, lze její délku   definovat jako

 

Obecné metrické prostoryEditovat

Buď   metrický prostor a   parametrizace v  . Pak se   nazývá rektifikovatelná, pokud je supremum

 

konečné. V tomto případě se   říká délka parametrizace  .

Délka rektifikovatelné parametrizované křivky je proto supremem délek všech aproximací této křivky pomocí lineárních segmentů. U výše popsaných diferencovatelných parametrizací se obě definice délky shodují.

Existují spojité křivky, které nelze rektifikovat, například Kochova křivka nebo jiné fraktály, křivky vyplňující prostor a skoro jistě realizace Wienerova procesu. Takovým křivkám se také říká křivky nekonečné délky.

Slovo rektifikovat znamená narovnat, to znamená vzít křivku (vlákno) na koncích, roztáhnout je od sebe a natáhnout ji tak, abychom dostali úsečku, jejíž délku můžete měřit přímo.[1]

Délky křivekEditovat

DefiniceEditovat

K parametrizaci   náležející obraz (množina všech bodů, na které se parametr promítne)   se nazývá křivka (také stopa parametrizace  ). Naopak   se nazývá nebo parametrizace křivky  . Dvě různé parametrizace mohou definovat stejnou křivku a naopak danou křivku lze parametrizovat prostřednictvím různých parametrizací. Je logické definovat délku křivky jako délku přidružené parametrizace; ale to předpokládá, že pro každou parametrizaci dostaneme stejnou hodnotu. To je intuitivně jasné a ve skutečnosti to může být ukázáno pro injektivní (prostou) parametrizaci. Konkrétně platí:

Buďte   a   dvě injektivní parametrizace stejné křivky  , tj.   . Pak  .

Parametrizace délkou obloukuEditovat

Jak již bylo řečeno, pro křivku existují různé parametrizace. Speciální parametrizací je parametrizace podle délky oblouku (nebo délky dráhy - obloukem se myslí parametrizace, která měří délku vykonané dráhy), označovaná také jako přirozená parametrizace křivky.

Nechť je   rektifikovatelná křivka s parametrizací

 

a   pro   její úsek s parametrizací  , tak se funkce

 

nazývá oblouk křivky   . Tato funkce   spojitě a monotónně roste, pro   prosté je dokonce ostře monotónně rostoucí, a proto také bijektivní, takže existuje inverzní funkce  . Funkce

 

se označuje jako parametrizace   délkou oblouku.

Je-li   spojitě diferencovatelná a   pro všechna  , zvláštností parametrizace délkou oblouku to, že také   je spojitě diferencovatelná a pro každé   je

 

Parametrizaci délkou oblouku tedy můžeme chápat jako tu parametrizaci, při které se daná křivka vykresluje konstantní jednotkovou rychlostí.

ReferenceEditovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Länge (Mathematik) na německé Wikipedii.

  1. HEUSER, HARRO 1927-2011. Lehrbuch der Analysis Teil 2.. 5., durchges. Aufl. vyd. Wiesbaden: [s.n.] 736 S s. Dostupné online. ISBN 978-3-519-42222-8, ISBN 3-519-42222-0. OCLC 263149494 

Externí odkazyEditovat