Délka křivky

Délka je v matematice vlastnost, kterou lze přiřadit úsečkám, křivkám a jejich parametrizacím. Jedná se o matematickou abstrakci fyzikálních pojmů délky nebo dráhy.

Délka úsečky

Nechť jsou $A$ a $B$ dva body v (dvourozměrné) rovině ($\mathbb {R} ^{2}$) s kartézskými souřadnicemi $A(a_{1}|a_{2})$ a $B(b_{1}|b_{2})$. Pak je délka úsečky $AB$ podle Pythagorovy věty

${\overline {AB}}={\sqrt {(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}}}.$

V trojrozměrném prostoru ($\mathbb {R} ^{3}$) se souřadnicemi $A(a_{1}|a_{2}|a_{3})$ a $B(b_{1}|b_{2}|b_{3})$ podobně platí

${\overline {AB}}={\sqrt {(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}+(b_{3}-a_{3})^{2}}}.$

To lze analogicky rozšířit i na vyšší dimenze – počet sčítanců pod odmocninou odpovídá dimenzi prostoru, v němž úsečku uvažujeme. V zásadě lze tyto vzorce zobecnit dvěma způsoby:

• Buď interpretujeme délku úsečky $AB$ jako délku vektoru ${\overrightarrow {AB}}$ a definujeme délky pro vektory. Odpovídající zobecněný koncept délky pro vektory se nazývá norma.
• Ještě obecněji můžeme uvažovat místo délek vektorů libovolný (v jistém smyslu rozumný) předpis, který dvojici bodů přiřadí vzdálenost mezi nimi. Takovým nejobecnějším vzdálenostem se říká metriky.

Délky parametrizovaných křivek

Parametrizace (parametrizovaná křivka) je spojité zobrazení $\gamma \colon [a,b]\to X$ z intervalu do topologického prostoru $X$. Aby jí bylo možné přiřadit délku, musí mít tento prostor další strukturu. V nejjednodušším případě je $X$ rovina $\mathbb {R} ^{2}$ nebo trojrozměrný prostor $\mathbb {R} ^{3}$ s obvyklou definicí délky úseček; zobecnění je možné pro Riemannovy prostory nebo jakékoli metrické prostory. Délku parametrizace $\gamma \,$ označme $L(\gamma )\,$.

V rovině a v třírozměrném prostoru

Parametrizace v rovině nebo v prostoru je dána dvěma nebo třemi souřadnicovými funkcemi:

$t\mapsto (x(t),y(t))$ nebo $t\mapsto (x(t),y(t),z(t))$ pro $a\leq t\leq b$ .

Pro parametrizace, které jsou po částech spojitě diferencovatelné, je délka definována integrálem po celém rozpětí parametru:

$L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {{\dot {x}}(t)^{2}+{\dot {y}}(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t$ nebo $\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {{\dot {x}}(t)^{2}+{\dot {y}}(t)^{2}+{\dot {z}}(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t.$

Motivace

Rovinná křivka parametrizovaná jako ${\begin{matrix}f(t)=(x(t),y(t))\end{matrix}}$ se dá aproximovat krátkými úsečkami $\Delta s$, který jsou určeny dvěma složkami $\Delta x$ a $\Delta y$ rovnoběžnými s osami souřadnic. Podle Pythagorovy věty je $(\Delta s)^{2}=(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}$, jak bylo popsáno výše. Celková délka křivky je přibližně rovna součtu všech přímek:

$L\approx \sum \Delta s=\sum {\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}=\sum {\sqrt {\left({\frac {\Delta x}{\Delta t}}\right)^{2}+\left({\frac {\Delta y}{\Delta t}}\right)^{2}}}\Delta t$

Pokud předpokládáme konvergenci výrazu pro $\Delta t$ jdoucí k nule, pak je délka $L$ součet všech infinitesimálně malých přímek, takže:

$L=\int \mathrm {d} s=\int {\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}\,\mathrm {d} t$ .

Fyzikálně (kinematicky) lze integrand také chápat jako příspěvek okamžité rychlosti tělesa pohybujícího se po zkoumané dráze a integrační proměnnou jako čas. To je asi nejsrozumitelnější motivace této definice délky parametrizace.

Příklady

Kruh s poloměrem $r$

$t\mapsto (r\cdot \cos t,\ r\cdot \sin t)$ pro $0\leq t\leq 2\pi$

má délku

$\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {r^{2}\sin ^{2}t+r^{2}\cos ^{2}t}}\ \mathrm {d} t=\int \limits _{0}^{2\pi }r\,\mathrm {d} t=2\pi r.$

Při úpravě integrandu se využilo to, že součet čtverců sinu a kosinu stejného argumentu je roven jedné.

Úsek šroubovice s poloměrem $r$ a výškou závitu $h$

$t\mapsto \left(r\cdot \cos t,\ r\cdot \sin t,\ {\tfrac {h}{2\pi }}\cdot t\right)\quad {\text{pro}}\;0\leq t\leq 2\pi$

má délku

${\begin{aligned}\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {r^{2}\sin ^{2}t+r^{2}\cos ^{2}t+\left({\frac {h}{2\pi }}\right)^{2}}}\ \mathrm {d} t&=\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {h}{2\pi }}\right)^{2}}}\ \mathrm {d} t\\&={\sqrt {(2\pi r)^{2}+h^{2}}}\end{aligned}}$

Speciální případy

Délka grafu funkce

Mějme funkcí $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ spojitě diferencovatelnou na $[a,b]\subset \mathbb {R}$; délka $L$ grafu této funkce mezi body $(a|f(a))$ a $(b|f(b))$ se vypočítá:

$L(a,b)=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}\;\mathrm {d} x\qquad (*)$

protože můžeme použít parametrizaci $x\mapsto (x,\ f(x))$ pro $a\leq x\leq b$.

Příklad: Obvod kruhu lze určit pomocí ${\begin{matrix}(*)\end{matrix}}$ takto: Kružnice s poloměrem $r$ splňuje rovnici $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ neboli $f(x)={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}.$ Derivace je: $f'(x)={\frac {-x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$ .

Použitím vzorce ${\begin{matrix}(*)\end{matrix}}$ máme:

$L=2\int \limits _{-1}^{1}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}}\,\mathrm {d} x=2r\int \limits _{-1}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}\,=2r\arcsin(1)-2r\arcsin(-1)=2\pi r$

Polární souřadnice

Mějme rovinnou křivku v polárních souřadnicích $r(\varphi )$, tedy

$\varphi \mapsto (r(\varphi )\cos \varphi ,r(\varphi )\sin \varphi )$ pro $\varphi _{0}\leq \varphi \leq \varphi _{1}$ ,

přičemž podle pravidla pro derivaci součinu dostaneme

${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \varphi }}=r^{\prime }(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi$

a

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \varphi }}=r^{\prime }(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi$ ,

takže

$\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \varphi }}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \varphi }}\right)^{2}=\left(r^{\prime }(\varphi )\right)^{2}+r^{2}(\varphi )$ .

Délka křivky parametrizované v polárních souřadnicích je proto

$L=\int \limits _{\varphi _{0}}^{\varphi _{1}}{\sqrt {\left(r^{\prime }(\varphi )\right)^{2}+r^{2}(\varphi )}}\,\mathrm {d} \varphi$ .

Riemannovy prostory

Je-li obecně $\gamma \colon [a,b]\to M$ po částech diferencovatelná křivka v Riemannově prostoru, lze její délku $\gamma$ definovat jako

$L(\gamma )=\int \limits _{a}^{b}\|{\dot {\gamma }}(t)\|\,\mathrm {d} t.$

Obecné metrické prostory

Buď $(X,d)$ metrický prostor a $\gamma \colon [0,1]\to X$ parametrizace v $X$. Pak se $\gamma$ nazývá rektifikovatelná, pokud je supremum

$L(\gamma )=\sup \left\{\left.\sum _{i=0}^{k-1}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i+1}))\right|k\in \mathbb {N} ,0=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{k-1}<t_{k}=1\right\}$

konečné. V tomto případě se $L(\gamma )$ říká délka parametrizace $\gamma$.

Délka rektifikovatelné parametrizované křivky je proto supremem délek všech aproximací této křivky pomocí lineárních segmentů. U výše popsaných diferencovatelných parametrizací se obě definice délky shodují.

Existují spojité křivky, které nelze rektifikovat, například Kochova křivka nebo jiné fraktály, křivky vyplňující prostor a skoro jistě realizace Wienerova procesu. Takovým křivkám se také říká křivky nekonečné délky.

Slovo rektifikovat znamená narovnat, to znamená vzít křivku (vlákno) na koncích, roztáhnout je od sebe a natáhnout ji tak, abychom dostali úsečku, jejíž délku můžete měřit přímo.

Délky křivek

Definice

K parametrizaci $\gamma \colon [a,b]\to X$ náležející obraz (množina všech bodů, na které se parametr promítne) $\Gamma =\gamma ([a,b])\,$ se nazývá křivka (také stopa parametrizace $\gamma \,$). Naopak $\gamma \,$ se nazývá nebo parametrizace křivky $\Gamma \,$. Dvě různé parametrizace mohou definovat stejnou křivku a naopak danou křivku lze parametrizovat prostřednictvím různých parametrizací. Je logické definovat délku křivky jako délku přidružené parametrizace; ale to předpokládá, že pro každou parametrizaci dostaneme stejnou hodnotu. To je intuitivně jasné a ve skutečnosti to může být ukázáno pro injektivní (prostou) parametrizaci. Konkrétně platí:

Buďte $\gamma _{1}\colon [a_{1},b_{1}]\to \mathbb {R} ^{n}$ a $\gamma _{2}\colon [a_{2},b_{2}]\to \mathbb {R} ^{n}$ dvě injektivní parametrizace stejné křivky $\Gamma \,$, tj. $\gamma _{1}([a_{1},b_{1}])=\gamma _{2}([a_{2},b_{2}])=\Gamma \,$ . Pak $L\left(\gamma _{1}\right)=L\left(\gamma _{2}\right)=L\left(\Gamma \right)$.

Parametrizace délkou oblouku

Jak již bylo řečeno, pro křivku existují různé parametrizace. Speciální parametrizací je parametrizace podle délky oblouku (nebo délky dráhy - obloukem se myslí parametrizace, která měří délku vykonané dráhy), označovaná také jako přirozená parametrizace křivky.

Nechť je $\Gamma$ rektifikovatelná křivka s parametrizací

${\begin{matrix}\gamma :&[a,b]&\to &\mathbb {R} ^{n}\\&\tau &\mapsto &\gamma (\tau )\end{matrix}}$

a $\Gamma _{t}$ pro $t\in [a,b]$ její úsek s parametrizací $\gamma |[a,t]$, tak se funkce

${\begin{matrix}s:&[a,b]&\to &\mathbb {R} \\&t&\mapsto &L\left(\Gamma _{t}\right)\end{matrix}}$

nazývá oblouk křivky $\Gamma$ . Tato funkce $s(t)$ spojitě a monotónně roste, pro $\gamma$ prosté je dokonce ostře monotónně rostoucí, a proto také bijektivní, takže existuje inverzní funkce $t(s)$. Funkce

${\begin{matrix}{\hat {\gamma }}:&[0,L(\gamma )]&\to &\mathbb {R} ^{n}\\&s&\mapsto &\gamma (t(s))\end{matrix}}$

se označuje jako parametrizace $\gamma$ délkou oblouku.

Je-li $\gamma$ spojitě diferencovatelná a ${\dot {\gamma }}(\tau )\neq 0$ pro všechna $\tau \in [a,b]$, zvláštností parametrizace délkou oblouku to, že také ${\hat {\gamma }}$ je spojitě diferencovatelná a pro každé $s\in [0,L(\Gamma )]$ je

$\left\|{\frac {\mathrm {d} {\hat {\gamma }}(s)}{\mathrm {d} s}}\right\|=1.$

Parametrizaci délkou oblouku tedy můžeme chápat jako tu parametrizaci, při které se daná křivka vykresluje konstantní jednotkovou rychlostí.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Länge (Mathematik) na německé Wikipedii.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu délka křivky na Wikimedia Commons