Diferencovatelnost

Pro porozumění tomuto článku je nutné znát pojem derivace a diferenciál.

Diferencovatelnost je v matematice vlastnost reálných funkcí anebo obecnějších geometrických struktur. Diferencovatelná funkce v bodě je v matematické analýze taková funkce, která má v určitém bodě diferenciál. Obdobně lze definovat diferencovatelnost na intervalu, případně na celém definičním oboru.

Příklad diferencovatelné funkce z R do R, jejího diferenciálu v bodě a její tečny

Neformální úvodEditovat

Funkce je diferencovatelná, pokud se dá na okolí každého bodu aproximovat lineární funkcí, odpovídající tečné přímce nebo rovině. Znamená to, že funkce je spojitá, nemá "hroty" a v žádném směru neroste nekonečně rychle. Funkce jedné reálné proměnné jsou diferencovatelné, pokud mají v daném bodě konečnou derivaci. Ilustrativní příklady:

  •   není diferencovatelná v nule, neboť tam má "hrot".
  •  . Tato funkce není diferencovatelná v bodě  . Spojitá je všude v  , ale v nule nekonečně rychle roste.
  •   má obě parciální derivace v (0, 0) (a dokonce i všechny derivace ve směru) a je v tomto bodě spojitá, ale ne diferencovatelná, neboť nemá tečnou rovinu (rovina {z=y} neaproximuje funkci dostatečně v bodech x=y).

Formální definice diferencovatelnosti funkceEditovat

Funkce f je diferencovatelná na množině M, pokud pro každé   existuje její diferenciál  . Funkce je spojitě diferencovatelná, pokud se diferenciál mění bod od bodu spojitě. Funkce f definovaná na otevřené množině U je k krát spojitě diferencovatelná, pokud má všechny parciální derivace k-tého řádu spojité. Značíme  .

Popis diferencovatelných funkcíEditovat

Funkce jedné reálné proměnnéEditovat

Funkce   je v bodě   diferencovatelná právě tehdy, existuje-li konečná derivace funkce   v bodě  . Konečnost derivace je důležitá, neboť například funkce signum má v nule nekonečnou derivaci, ale ne diferenciál.

Funkce   je na diferencovatelná na intervalu   s krajními body  , jestliže jsou splněny tyto tři podmínky:

  1.  
  2.  
  3.  

Tedy funkce na jednorozměrném intervalu je diferencovatelná, pokud má konečnou derivaci ve všech vnitřních bodech i konečné jednostranné derivace v obou koncových bodech intervalu.

Funkce f je spojitě diferencovatelná, pokud její derivace f' je spojitá.

Někdy se diferencovatelnost uvažuje jen na otevřených intervalech, a pak v definici nejsou druhá a třetí podmínka.

Funkce více reálných proměnnýchEditovat

Postačující podmínka pro existenci diferenciálu funkce   v bodě c je existence a spojitost parciálních derivací f na okolí c. Diferenciál se obvykle definuje na vnitřních bodech definičního oboru. Pokud existují na otevřené množině spojité parciální derivace f podle všech proměnných, je f spojitě diferencovatelná.

Funkce na hladké varietěEditovat

Funkce f definovaná na hladké varietě M je diferencovatelná, pokud pro každou mapu   je složení   diferencovatelná.

Zobrazení mezi vícerozměrnými prostoryEditovat

Zobrazení   je diferencovatelné, pokud je diferencovatelná každá jeho složka. Podobně pro zobrazení mezi libovolnými hladkými varietami.

Vlastnosti diferencovatelných funkcíEditovat

  • Funkce, která je diferencovatelná v bodě, je v tomto bodě spojitá. Stejně pro libovolný interval.
  • Součet, rozdíl, součin diferencovatelných funkcí je též diferencovatelný. Podíl f/g, kde g je nenulová, je diferencovatelný.
  • Složení diferencovatelných zobrazení je diferencovatelné.
  • Diferencovatelnou funkci lze aproximovat na okolí vnitřního bodu definičního oboru Taylorovým polynomem.
  • Diferencovatelná funkce má všechny derivace ve směru a tato derivace závisí na směru lineárně.

PříkladyEditovat

 
Weierstrassova funkce příklad spojité funkce, která není diferencovatelná
  • Exponenciální, logaritmické, konstantní, mocninné, goniometrické, cyklometrické, hyperbolické a hyperbolometrická funkce jsou diferencovatelné na celém definičním oboru s výjimkou případně množiny izolovaných bodů.
  • Funkce   není analytickou, a přesto je diferencovatelná na celém  .
  • Funkce definovaná předpisem   je diferencovatelná v bodě 0, ale není spojitě diferencovatelná, neboť její derivace není spojitá.[p 1]
  • Weierstrassova funkce přestože je spojitá na celém   není v žádném bodě definičního oboru diferencovatelná.

Hladká funkceEditovat

Související informace naleznete také v článku Hladká funkce.

Funkce f se nazve hladká na otevřené množině U, pokud má všechny (parciální pro funkci více proměnných) derivace všech řádů. Značíme  .

Holomorfní funkceEditovat

Související informace naleznete také v článku holomorfní funkce.

Obdobou diferencovatelné funkce v oboru komplexních čísel je holomorfní funkce.

Další významyEditovat

  • Diferencovatelná struktura - atlas hladké variety.
  • Diferenciální forma - hladká sekce kotečného bundlu variety
  • Diferencovatelný bundl - bundl, ve kterém jsou přechodové funkce diferencovatelné

PoznámkyEditovat

  1. Derivace této funkce má tvar :  a tato zjevně nemá limitu pro x = 0.

Související článkyEditovat

ReferenceEditovat

  • Kopáček, J.: Matematická analýza pro fyziky , I., II. díl, Matfyzpress
  • Fučík, S., Milota, J.: Matematická analýza II, Diferenciální počet funkcí více proměnných, skripta MFF UK, Praha, 1980