Zobrazení (matematika)

různé navzájem související matematické koncepty
(přesměrováno z Bijekce)

Zobrazení je v matematice speciálním případem binární relace, u které má každý vzor nejvýše jeden obraz. Je to předpis , který prvkům množiny přiřazuje nejvýše jeden prvek množiny . Přesněji mluvíme o zobrazení z množiny do množiny . Pokud , mluvíme o zobrazení na množině. Ve speciálním případě, když je libovolná číselná množina, zobrazení nazýváme funkcí. Je-li prvku množiny přiřazen prvek množiny , pak říkáme, že prvek je vzorem a prvek je obrazem.

Zobrazení, které přiřazuje vybarveným geometrickým tvarům barvu jejich výplně.

DefiniceEditovat

Zobrazení   z množiny   do množiny   je binární relace, která ke každému prvku   množiny   přiřazuje nejvýše jeden prvek   množiny   tak, že  .

  • Množina prvků  , pro které existuje prvek   tak, že  , se nazývá definičním oborem   zobrazení  .
  • Množina prvků  , pro které existuje alespoň jeden prvek   tak, že  , se nazývá oborem hodnot   zobrazení  .

V teorii množin se tedy zobrazení definuje jako binární relace   splňující podmínku existence a jednoznačnosti:

  tak, že  .

Typy zobrazeníEditovat

 
Typy zobrazení

V matematice jsou injekce, surjekce a bijekce třídy zobrazení, které se liší způsobem, jakým jsou vzory a obrazy vzájemně mapovány:

  • Zobrazení je injektivní (zobrazení do), pokud je každý prvek oboru hodnot mapován nejvýše jedním prvkem definičního oboru, nebo ekvivalentně, pokud jsou různé prvky definičního oboru mapovány na různé prvky oboru hodnot:
  platí   nebo   platí  .
  • Zobrazení je surjektivní (zobrazení na), pokud je každý prvek oboru hodnot mapován alespoň jedním prvkem definičního oboru:
  tak, že  .
  • Zobrazení je bijektivní (vzájemně jednoznačné), pokud je každý prvek oboru hodnot mapován právě jedním prvkem definičního oboru:
  tak, že  .
  • V každém případě pro libovolné zobrazení platí následující:
  tak, že  .

Bijektivní zobrazení je jak injektivní, tak surjektivní. Injektivní zobrazení nemusí být surjektivní a surjektivní zobrazení nemusí být injektivní. Čtyři možné kombinace injektivních a surjektivních zobrazení jsou znázorněny na uvedeném obrázku. Bijektivní zobrazení se užívá k porovnávání mohutností nekonečných množin.

Zobrazení prosté a inverzníEditovat

Prosté zobrazeníEditovat

Zobrazení   z množiny   do množiny   se nazývá prosté, právě když každé dva různé vzory   mají různé obrazy  :

 .

Inverzní zobrazeníEditovat

Je-li   prosté zobrazení z množiny   do množiny  , pak zobrazení   z množiny   do množiny  , které každému   přiřazuje prvek  , pro nějž  , se nazývá inverzní zobrazení k zobrazení  . Jeho definičním oborem je tedy   a platí  .

Zobrazení podle typu vzorů a obrazůEditovat

  • Posloupnost je zobrazení z množiny přirozených čísel (zpravidla do jiné číselné množiny, v obecném smyslu i do jiných druhů objektů) – vzor udává pořadí obrazu.
  • Funkce (reálné či komplexní proměnné) je zobrazení v množině reálných či komplexních čísel.
  • Vektorová, tenzorová resp. maticová funkce je zobrazení z množiny (vektorového prostoru) vektorů, tenzorů resp. matic.
  • Funkcionál zobrazuje funkci na číslo.
  • Operátor - funkci přiřazuje funkci.
  • Třídové zobrazení - vzory i obrazy jsou množiny či třídy.

Speciální zobrazeníEditovat

  • Identické zobrazení - každému prvku přiřadí tentýž prvek.
  • Spojité zobrazení - k nekonečně blízkým vzorům přiřazuje nekonečně blízké obrazy.
  • Lineární zobrazení - platí pro něj  , kde   a   jsou prvky daného tělesa a   a   jsou prvky vektorového prostoru nad tímto tělesem.
  • Konformní zobrazení - spojité zobrazení, které zachovává úhly.

Příklady zobrazeníEditovat

 
Příklady zobrazení

Mějme množiny   a  . Můžeme například definovat zobrazení   jako

  •  
  •  
  •  
  •  

Oborem hodnot   je tedy množina  . Vzorem prvku   jsou prvky  . Jeden prvek v   tedy může mít více než jeden vzor v  . Ale každý prvek   se zobrazí na právě jeden prvek v  .

Na obrázku jsou uvedeny příklady mapování  :

  • Na a) je příklad, kdy se nejedná o zobrazení.
  • Na b) je příklad prostého zobrazení množiny   do množiny  .
  • Na c) je příklad vzájemně jednoznačného zobrazení množiny   na množinu  .
  • Na d) je příklad zobrazení, které není prosté.

Mnohoznačné zobrazeníEditovat

Jak vyplývá z uvedené definice zobrazení, název mnohoznačné zobrazení je matematický oxymóron. Pojem se ale běžně užívá pro relaci, kde každému vzoru odpovídá alespoň jeden obraz. Mnohoznačné zobrazení

 

lze převést na jednoznačné zobrazení do potenční množiny  

 .

Mnohoznačná zobrazení jsou poměrně přirozený způsob, jak se vypořádat s inverzí zobrazení, které není prosté. Např.:

 .

LiteraturaEditovat

BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 4. vyd. Praha: Academia, 1994. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. 

Související článkyEditovat