Otevřít hlavní menu

Norma je funkce, která každému nenulovému vektoru přiřazuje kladné reálné číslo (tzv. délku nebo velikost), nulový vektor jako jediný má délku 0. V případě seminormy se naopak připouští, aby i nenulovým vektorům byla přiřazena nulová délka.

Obsah

DefiniceEditovat

Nechť V je vektorový prostor nad nějakým podtělesem F tělesa komplexních čísel a p je reálná funkce definovaná na V. Funkce p je seminorma na V, jestliže je

  • pozitivně homogenní: p(a v) = |a| p(v), pro aF a vV;
  • subaditivní: p(u + v) ≤ p(u) + p(v), pro u, vV.

Z předpokladu pozitivní homogenity plyne, že p(0) = 0 a následně ze subaditivity p(v) ≥ 0, pro všechna vV.

Norma je seminorma p, která je navíc pozitivně definitní:

  • p(v) = 0 právě tehdy, když v = 0.

Pro normu se namísto p(v) zpravidla používá označení ||v||.

PříkladyEditovat

Eukleidovská normaEditovat

Na prostoru   lze definovat tzv. eukleidovskou normu vektoru x = (x1, x2, ..., xn) jako

 

Tato norma udává vzdálenost bodu x od počátku (což je důsledek Pythagorovy věty).

p-normaEditovat

Nechť p > 1 je reálné číslo.

 

Eukleidovská norma je speciálním případem této normy (pro p = 2).

Maximová normaEditovat

 

Norma na prostoru se skalárním součinemEditovat

Skalární součin indukuje přirozeným způsobem normu

 

Pro normu indukovanou skalárním součinem platí Cauchyho–Schwarzova nerovnost

 

VlastnostiEditovat

 
Ilustrace jednotkových kružnic v různých normách.

Tvar jednotkové kružnice (množiny vektorů velikosti 1) se liší v různých normách (viz ilustraci).

Normy ||•||α and ||•||β na vektorovém prostoru V se nazývají ekvivalentní, jestliže existují kladná reálná čísla C a D taková, že

 

pro všechna xV. Na vektorovém prostoru konečné dimenze jsou všechny normy ekvivalentní. Například normy ||•||1, ||•||2 a ||•|| jsou ekvivalentní na prostoru  :

 
 
 

Ekvivalentní normy indukují tutéž topologii. Jsou-li dány dvě ekvivalentní normy na jednom prostoru, pak je spojitost funkcí i konvergence posloupností z tohoto prostoru v obou normách stejná.

Konvexní, vyvážené, pohlcující množinyEditovat

Seminormy jsou úzce spjaty s konvexními, vyváženými, pohlcujícími množinami. Nechť p je seminorma na vektorovém prostoru V, pak pro libovolný skalár α jsou množiny {x : p(x) < α} a {x : p(x) ≤ α} konvexní, vyvážené a pohlcující.

Obráceně, ke každé konvexní, vyvážené, pohlcující podmnožině C prostoru V existuje seminorma μC známá jako Minkowského funkcionál množiny C, definovaná

 

Pro tuto seminormu platí

 

Související článkyEditovat