Cauchyho–Schwarzova nerovnost

(přesměrováno z Cauchyho-Schwarzova nerovnost)

V matematice je Cauchyho–Schwarzova nerovnost (též známá jako: Schwarzova, Bunjakovského, Cauchyho–Bunjakovského nebo Cauchyho–Bunjakovského–Schwarzova nerovnost) užitečná nerovnost často používaná v různých odvětvích matematiky, jako je lineární algebra, analýza nebo teorie pravděpodobnosti. Bývá považována za jednu z nejdůležitějších nerovností v matematice. Má různá zobecnění, mezi nejdůležitější patří Hölderova nerovnost.

ZněníEditovat

Na unitárním prostoru   se skalárním součinem   platí:

 .

Můžeme obě strany nerovnosti odmocnit a dostaneme ekvivalentní tvrzení:

 .

Navíc, rovnost nastává právě tehdy, když jsou   a   lineárně závislé.

DůkazEditovat

Pro každé   existuje   takové, že:

 , kde  .

Za použití Pythagorovy věty dostaneme:

 

Z čehož plyne:

 .

Což je po úpravě požadovaná nerovnost.

Pokud máme rovnost, tak nutně   a tudíž:   jsou   lineárně závislé.