Hölderova nerovnost

Hölderova nerovnost je důležitou nerovností v matematické analýze, významnou zejména při zkoumání Lp prostorů.

ZněníEditovat

Na prostoru s mírou   mějme μ-měřitelné funkce   na  . Dále nechť existují čísla  , taková, že:  . Pak platí:

 .

Důležité speciální případyEditovat

Pro následující případy předpokládejme, že   a  .

Aritmetická míraEditovat

V případě  -rozměrného Eukleidovského prostoru  , s množinou   a   aritmetickou mírou dostáváme:

 .

Rovnost nastává, právě když  .

Lp prostoryEditovat

Pokud  , tak   a navíc:

 

Pro   pak dostáváme Cauchyho–Schwarzovu nerovnost, Hölderova nerovnost je tedy jejím zobecněním.

DůkazEditovat

Je důsledkem Youngovy nerovnosti, která se dá formulovat i takto: Pro všechna reálná čísla r, s a   platí  . Rovnost nastává, právě když r=s nebo  . Sečtením těchto nerovností dostaneme požadovanou Hölderovu nerovnost.