Hölderova nerovnost

Hölderova nerovnost je důležitou nerovností v matematické analýze, významnou zejména při zkoumání L^p prostorů.

Znění

Na prostoru s mírou $(X,\Sigma ,\mu )$ mějme μ-měřitelné funkce $f,g$ na $X$ . Dále nechť existují čísla $1\leq p,q\leq \infty$ , taková, že: $1/p+1/q=1$ . Pak platí:

\|f\cdot g\|_{1}\leq \|f\|_{p}\cdot \|g\|_{q}

.

Důležité speciální případy

Pro následující případy předpokládejme, že $1<p,q<\infty$ a $1/p+1/q=1$ .

Aritmetická míra

V případě $n$ -rozměrného Eukleidovského prostoru $a_{k},b_{k}\in \mathbb {C} ^{n}$ , s množinou $X=\{1,...,n\}$ a $\mu$ aritmetickou mírou dostáváme:

\sum _{k=1}^{n}|a_{k}b_{k}|\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{k=1}^{n}|b_{k}|^{q}\right)^{1/q}

.

Rovnost nastává, právě když $|b_{k}|=c|a_{k}|^{p-1}$ .

L^p prostory

Pokud $f\in L^{p}(X),g\in L^{q}(X)$ , tak $f\cdot g\in L^{1}(X)$ a navíc:

\int _{X}|f\cdot g|\,\mathrm {d} \mu \leq \left(\int _{X}|f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}\cdot \left(\int _{X}|g|^{q}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/q}

Pro $p=q=2$ pak dostáváme Cauchyho–Schwarzovu nerovnost, Hölderova nerovnost je tedy jejím zobecněním.

Důkaz

Je důsledkem Youngovy nerovnosti, která se dá formulovat i takto: Pro všechna reálná čísla r, s a $x\in <0,1>$ platí $xr+(1-x)s\geq r^{x}s^{1-x}$ . Rovnost nastává, právě když r=s nebo $x\in \{0,1\}$ . Sečtením těchto nerovností dostaneme požadovanou Hölderovu nerovnost.