Otevřít hlavní menu
Tento článek je o geometrické ploše. O virtuální ploše v počítači pojednává článek Plocha (operační systém).

Plocha označuje v matematice a fyzice dvojrozměrný geometrický útvar. Příkladem ploch jsou rovina, kulová plocha, povrch válce nebo kuželová plocha. Přesné matematické definice se v různých kontextech a v různých teoriích liší.

Výraz plocha se někdy nesprávně používá nejen pro označení geometrického útvaru, ale také pro označení obsahu geometrického útvaru.

Plochy v euklidovském prostoruEditovat

V dalším předpokládejme, že plocha je podmnožina třírozměrného euklidovského prostoru. Můžeme ji definovat jako množinu všech bodů, jejichž souřadnice vyhovují rovnici

 ,

kde   je funkce, která má v každém bodě spojitou parciální derivaci alespoň prvního řádu a na žádné otevřené množině není identicky rovna nule.

Body plochy, v nichž je alespoň jedna z těchto parciálních derivací nenulová, se nazývají regulární body plochy, zatímco body, v nichž jsou všechny parciální derivace prvního řádu nulové označujeme jako singulární body. Příkladem singulárního bodu je např. vrchol kužele.

Singulární bod, v němž funkce   má alespoň jednu nenulovou parciální derivaci druhého řádu, se nazývá kónický bod plochy.

Plocha určená svojí normálou se označuje jako orientovaná plocha.

Rovnici plochy lze vyjádřit v různých tvarech.

Implicitní rovnice plochyEditovat

Implicitní rovnice plochy má tvar

 

Parametrické rovniceEditovat

Uvažujme plochu, jejíž souřadnice jsou vyjádřeny soustavou rovnic

 
 
 

Tato soustava rovnic představuje parametrické vyjádření plochy, přičemž   jsou parametry plochy. Každou dvojici   z určitého oboru   nazýváme bodem plochy. Předpokládáme přitom, že tyto rovnice jsou na   spojité a mají spojité nebo po částech spojité parciální derivace prvního řádu podle   a  .

Explicitní rovnice plochyEditovat

Pokud lze předchozí rovnice plochy převést na tvar

 ,

pak hovoříme o explicitní rovnici plochy.

Základní rovnice plochyEditovat

Vztahy mezi normálou plochy  , rádiusvektorem   a jejich derivacemi určují tzv. základní rovnice plochy. Tyto rovnice lze pro plochu určenou   uvést v různých tvarech.

Weingartenovy rovnice plochyEditovat

Weingartenovy rovnice plochy určují vztahy mezi derivacemi vektorů   a  .

 
 
 
 

kde   jsou základní veličiny plochy prvního řádu a   jsou základní veličiny plochy druhého řádu.

Gaussovy rovnice plochyEditovat

Gaussovy rovnice plochy umožňují určit druhou derivaci polohového vektoru  .

 
 
 

kde   jsou základní veličiny plochy prvního řádu a   jsou základní veličiny plochy druhého řádu.

Codazziho rovnice plochyEditovat

Codazziho (nebo také Mainardiho) rovnice plochy určují vztahy mezi základními veličinami plochy prvního řádu   a základními veličinami plochy druhého řádu  .

 
 

VlastnostiEditovat

 

Body plochy, v nichž má tato matice hodnost   jsou regulárními body. Je-li hodnost matice  , pak jde o singulární body.

  • Máme-li plochu zadanou rovnicemi, které mají všude v   nenulovou parciální derivaci prvního řádu a uvedená matice má v každém bodě hodnost  , pak plochu označujeme jako hladkou.

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat