Další významy jsou uvedeny na stránce Kužel (rozcestník).

Kužel je trojrozměrný geometrický tvar ohraničený kuželovou plochou a rovinou, která protíná kuželovou plochu tak, že vytváří uzavřenou křivku.

Kuželový prostor, ohraničený uzavřenou křivkou

Část kuželové plochy, která tvoří povrch kužele, se označuje jako plášť kužele. Řez kuželového prostoru hraniční rovinou vrstvy se nazývá podstava kužele. Plášť kužele a podstava tvoří povrch kužele. Bod, ve kterém se rovinný řez kužele redukuje na bod, se označuje jako vrchol kužele. Kolmá vzdálenost mezi rovinou podstavy a vrcholem se nazývá výška kužele. Vzdálenost mezi vrcholem a podstavou podél pláště je strana kužele.

Je-li podstavou kužele kruh, pak se kužel nazývá kruhový. Jestliže kolmice spuštěná z vrcholu na rovinu podstavy prochází středem podstavy kruhového kužele, jde o rotační kužel nebo také kolmý kruhový kužel, v opačném případě jde o kosý kužel.

Základní pojmy

editovat
 
Obecný kužel.

Kuželový prostor a kuželová plocha

editovat

Definice: Je dána jednoduchá uzavřená křivka  , která leží v rovině   a bod V, který v dané rovině   neleží. Množina všech přímek, které procházejí daným bodem V a křivkou   tvoří kuželovou plochu, která ohraničuje kuželový prostor. Kuželový prostor zahrnuje kromě kuželové plochy i všechny přímky, které protínají rovinu   uvnitř křivky  .

Křivka   se nazývá řídicí křivkou kuželového prostoru nebo kuželové plochy. Bod V se nazývá vrchol kuželového prostoru nebo kuželové plochy. Přímky spojující řídicí křivku s vrcholem se nazývají povrchové přímky (površky).

Přímky kuželového prostoru, které nejsou povrchovými přímkami se nazývají vnitřní přímky kuželového prostoru a body na nich se nazývají vnitřní body kuželového prostoru, vrchol V nepatří mezi vnitřní body kuželového prostoru. [1][2]

Kruhový kužel

editovat
 
Rotační kuželová plocha

Je-li řídicí křivka kružnice, pak kruh omezený touto kružnicí   je podstavou kruhového kužele. Kruhový kužel je těleso tvořené částí kuželového prostoru mezi rovinou   a bodem V. Rovina   je rovina podstavy kužele. Kružnice   tvoří podstavnou hranu a bod V je vrchol kužele.[3]

Rotační kuželová plocha

editovat

Rotací přímky  , kolem přímky  , pro kterou platí   vznikne rotační kuželová plocha.

Přímka   je osa kuželové plochy. Každé přímce  , ležící na kuželové ploše se říká povrchová přímka (površka) kuželové plochy.

Jiná formulace: Rotační kuželová plocha je množina všech přímek   prostoru, které procházejí průsečíkem přímek   a dané přímky  , přičemž odchylka   těchto přímek a přímky   je pro všechny přímky   stejná  .[4]

Přímka a rovina, procházející vrcholem kuželové plochy se nazývá vrcholová přímka a vrcholová rovina. Každé povrchové přímky kuželové plochy se dotýká právě jedna tečná rovina.

Rotační kužel

editovat
 
Rotace pravoúhlého trojúhelníku kolem odvěsny
 
Rotační kužel (vlevo) a kosý kruhový kužel (vpravo).

Rotační kužel je těleso vzniklé rotací pravoúhlého trojúhelníku kolem přímky  , na které leží jedna jeho odvěsna nebo rotací rovnoramenného trojúhelníku kolem jeho výšky na základnu.

  • Přímka   je osa kužele,
  • bod přepony, který leží na ose se nazývá vrchol kužele,
  • podstavu kužele tvoří kruh, který je vytvořen rotací odvěsny kolmé k ose   ,
  • poloměr (průměr) rotačního kužele je poloměr (průměr) podstavy,
  • výška rotačního kužele je (kolmá) vzdálenost vrcholu kužele od roviny podstavy, je rovna délce odvěsny, která leží na ose  .

Výpočty

editovat
 
Značení kužele – síť kužele

Značení kužele

  poloměr podstavy
  výška kužele (také někdy  )
  délka strany (površky) kužele
  obsah podstavy kužele
  obsah pláště kužele
  povrch rotačního kužele
  objem rotačního kužele

Objem rotačního kužele

editovat
 
Zobrazení kužele v kartézské soustavě souřadnic

Odvození výpočtu: podstava rotačního kužele je kruh se středem   a poloměrem  . Výška rotačního kužele   je kolmá na rovinu podstavy a platí  .

V kartézské soustavě souřadnic ( ) lze určit rovnici přímky  ,na které leží površka   a jejíž rotací kolem osy   vznikl rotační kužel. Přímka   prochází počátkem   . Její rovnici lze tedy zapsat ve tvaru   , kde   je směrnice přímky, pro kterou platí  . Přímka   prochází bodem   , tedy platí  .

Rovnici přímky lze tedy zapsat  

Je třeba vzít v úvahu, že kolem osy   rotuje pouze část přímky  , tj. úsečka, jejímž kolmým průmětem do osy   je interval  . Potom lze spočítat objem rotačního kužele:[5]

 

  •    

Povrh rotačního kužele

editovat

Povrch rotačního kužele vznikne součtem obsahu podstavy ( ) a obsahu pláště   . Obsah podstavy je obsah kruhu. Odvodit stačí vzorec pro výpočet obsahu pláště, tedy  .

Postup:

První derivace rovnice přímky  :  

S využitím Pythagorovy věty   lze spočítat   a dále

 

  •     

Vlastnosti rotačního kužele

editovat

Kuželosečky

editovat
Související informace naleznete také v článku Kuželosečka.

geometrického pohledu jsou zajímavé řezy rotační kuželové plochy, tj. průniky této plochy s nějakou rovinou.

Singulární řezy kužele – rovina řezu prochází vrcholem kužele (= vrcholová rovina), mohou nastat tři případy:

  • průnikem je bod (vrchol kužele), pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, větší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou
  • průnikem je přímka ležící na kuželové ploše, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, rovný úhlu, který svírají přímky kuželové plochy s její osou
  • průnikem jsou dvě přímky, které se protínají ve vrcholu kužele, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, menší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou (nebo v případě, kdy je rovina řezu rovnoběžná s osou kužele)

Regulární řezy kužele – pokud rovina řezu neprochází vrcholem kužele, mohou nastat čtyři případy:

  • průnikem je kružnice, pokud je rovina řezu kolmá na osu kužele (obr. B dole)
  • průnikem je elipsa, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, větší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou, ale rovina řezu není kolmá na osu kužele (obr. B nahoře)
  • průnikem je parabola, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, rovný úhlu, který svírají přímky kuželové plochy s její osou (obr. A)
  • průnikem je hyperbola, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, menší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou (nebo v případě, kdy je rovina řezu rovnoběžná s osou kužele) (obr. C)

 

Rovnice

editovat

Kuželová plocha (kvadratický kužel) s vrcholem v počátku, která v rovině   prochází elipsou   (tzv. řídicí křivka) je popsána rovnicí

 

Přímky, které tvoří povrch kužele, se nazývají tvořící přímky.

Tato plocha je asymptotickou plochou (asymptotickým kuželem) hyperboloidů

 

Pro   jde o rotační kužel s osou rotace  .

Kuželovou plochu s vrcholem v bodě   je vždy možné vyjádřit rovnicí

 

Reference

editovat
  1. MORÁVKOVÁ, Blanka. Úlohy s prostorovými tělesy v Mongeově zobrazovací metodě. 2006 [cit. 2023-04-20]. Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta. Dostupné online.
  2. HRUŠA, Karel; KRAEMER, Emil; SEDLÁČEK, Jiří; VYŠÍN, Jan; ZELENKA, Rudolf. Přehled elementární matematiky. třetí revidované. vyd. Praha: Státní nakladatelství technické literatury, 1962. 
  3. DLOUHÁ, Michaela. Úlohy o objemu a povrchu těles v trojrozměrném prostoru [online]. Univerzita Karlova v Praze, Pedagogická fakulta, Katedra matematiky a didaktiky matematiky, 2012 [cit. 2023-04-20]. Bakalářská práce. Dostupné online. 
  4. POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia. Stereometrie. 3., upr. vyd. vyd. Praha: Prometheus 223 s. s. Dostupné online. ISBN 80-7196-178-7. 
  5. KRÁLOVÁ, Alice. Odvození vzorců pro výpočet objemů a povrchů některých těles užitím integrálního počtu [online]. Studijní text. Mendelova univerzita v Brně, Lesnická a dřevařská fakulta [cit. 2023-04-24]. Dostupné online. 

Literatura

editovat
  • Karel Rektorys a kolektiv: Přehled užité matematiky I, Prometheus, Praha 1995, ISBN 80-85849-92-5, str. 107-108
  • Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, ISBN 978-80-7358-083-4, str. 122-123

Související články

editovat

Externí odkazy

editovat
  •   Slovníkové heslo kužel ve Wikislovníku