Kužel
Kužel je trojrozměrný geometrický tvar ohraničený kuželovou plochou a rovinou, která protíná kuželovou plochu tak, že vytváří uzavřenou křivku.
Část kuželové plochy, která tvoří povrch kužele, se označuje jako plášť kužele. Řez kuželového prostoru hraniční rovinou vrstvy se nazývá podstava kužele. Plášť kužele a podstava tvoří povrch kužele. Bod, ve kterém se rovinný řez kužele redukuje na bod, se označuje jako vrchol kužele. Kolmá vzdálenost mezi rovinou podstavy a vrcholem se nazývá výška kužele. Vzdálenost mezi vrcholem a podstavou podél pláště je strana kužele.
Je-li podstavou kužele kruh, pak se kužel nazývá kruhový. Jestliže kolmice spuštěná z vrcholu na rovinu podstavy prochází středem podstavy kruhového kužele, jde o rotační kužel nebo také kolmý kruhový kužel, v opačném případě jde o kosý kužel.
Základní pojmy
editovatKuželový prostor a kuželová plocha
editovatDefinice: Je dána jednoduchá uzavřená křivka , která leží v rovině a bod V, který v dané rovině neleží. Množina všech přímek, které procházejí daným bodem V a křivkou tvoří kuželovou plochu, která ohraničuje kuželový prostor. Kuželový prostor zahrnuje kromě kuželové plochy i všechny přímky, které protínají rovinu uvnitř křivky .
Křivka se nazývá řídicí křivkou kuželového prostoru nebo kuželové plochy. Bod V se nazývá vrchol kuželového prostoru nebo kuželové plochy. Přímky spojující řídicí křivku s vrcholem se nazývají povrchové přímky (površky).
Přímky kuželového prostoru, které nejsou povrchovými přímkami se nazývají vnitřní přímky kuželového prostoru a body na nich se nazývají vnitřní body kuželového prostoru, vrchol V nepatří mezi vnitřní body kuželového prostoru. [1][2]
Kruhový kužel
editovatJe-li řídicí křivka kružnice, pak kruh omezený touto kružnicí je podstavou kruhového kužele. Kruhový kužel je těleso tvořené částí kuželového prostoru mezi rovinou a bodem V. Rovina je rovina podstavy kužele. Kružnice tvoří podstavnou hranu a bod V je vrchol kužele.[3]
Rotační kuželová plocha
editovatRotací přímky , kolem přímky , pro kterou platí vznikne rotační kuželová plocha.
Přímka je osa kuželové plochy. Každé přímce , ležící na kuželové ploše se říká povrchová přímka (površka) kuželové plochy.
Jiná formulace: Rotační kuželová plocha je množina všech přímek prostoru, které procházejí průsečíkem přímek a dané přímky , přičemž odchylka těchto přímek a přímky je pro všechny přímky stejná .[4]
Přímka a rovina, procházející vrcholem kuželové plochy se nazývá vrcholová přímka a vrcholová rovina. Každé povrchové přímky kuželové plochy se dotýká právě jedna tečná rovina.
Rotační kužel
editovatRotační kužel je těleso vzniklé rotací pravoúhlého trojúhelníku kolem přímky , na které leží jedna jeho odvěsna nebo rotací rovnoramenného trojúhelníku kolem jeho výšky na základnu.
- Přímka je osa kužele,
- bod přepony, který leží na ose se nazývá vrchol kužele,
- podstavu kužele tvoří kruh, který je vytvořen rotací odvěsny kolmé k ose ,
- poloměr (průměr) rotačního kužele je poloměr (průměr) podstavy,
- výška rotačního kužele je (kolmá) vzdálenost vrcholu kužele od roviny podstavy, je rovna délce odvěsny, která leží na ose .
Výpočty
editovatZnačení kužele
poloměr podstavy | |
výška kužele (také někdy ) | |
délka strany (površky) kužele | |
obsah podstavy kužele | |
obsah pláště kužele | |
povrch rotačního kužele | |
objem rotačního kužele |
Objem rotačního kužele
editovatOdvození výpočtu: podstava rotačního kužele je kruh se středem a poloměrem . Výška rotačního kužele je kolmá na rovinu podstavy a platí .
V kartézské soustavě souřadnic ( ) lze určit rovnici přímky ,na které leží površka a jejíž rotací kolem osy vznikl rotační kužel. Přímka prochází počátkem . Její rovnici lze tedy zapsat ve tvaru , kde je směrnice přímky, pro kterou platí . Přímka prochází bodem , tedy platí .
Rovnici přímky lze tedy zapsat
Je třeba vzít v úvahu, že kolem osy rotuje pouze část přímky , tj. úsečka, jejímž kolmým průmětem do osy je interval . Potom lze spočítat objem rotačního kužele:[5]
Povrh rotačního kužele
editovatPovrch rotačního kužele vznikne součtem obsahu podstavy ( ) a obsahu pláště . Obsah podstavy je obsah kruhu. Odvodit stačí vzorec pro výpočet obsahu pláště, tedy .
Postup:
První derivace rovnice přímky :
S využitím Pythagorovy věty lze spočítat a dále
Vlastnosti rotačního kužele
editovat- Není středově souměrný.
- Je osově souměrný podle spojnice vrcholu kužele se středem podstavy.
- Je rovinově souměrný podle nekonečně mnoha rovin - rovinou souměrnosti je každá rovina, která v sobě obsahuje jeho osu (tj. vrchol a střed podstavy).
- V jistém smyslu je kužel „limitním případem“ posloupnosti pravidelných n-bokých jehlanů pro n jdoucí do nekonečna. Lze porovnat vzorce pro výpočet objemu jehlanu a objemu kužele.
Kuželosečky
editovatZ geometrického pohledu jsou zajímavé řezy rotační kuželové plochy, tj. průniky této plochy s nějakou rovinou.
Singulární řezy kužele – rovina řezu prochází vrcholem kužele (= vrcholová rovina), mohou nastat tři případy:
- průnikem je bod (vrchol kužele), pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, větší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou
- průnikem je přímka ležící na kuželové ploše, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, rovný úhlu, který svírají přímky kuželové plochy s její osou
- průnikem jsou dvě přímky, které se protínají ve vrcholu kužele, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, menší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou (nebo v případě, kdy je rovina řezu rovnoběžná s osou kužele)
Regulární řezy kužele – pokud rovina řezu neprochází vrcholem kužele, mohou nastat čtyři případy:
- průnikem je kružnice, pokud je rovina řezu kolmá na osu kužele (obr. B dole)
- průnikem je elipsa, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, větší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou, ale rovina řezu není kolmá na osu kužele (obr. B nahoře)
- průnikem je parabola, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, rovný úhlu, který svírají přímky kuželové plochy s její osou (obr. A)
- průnikem je hyperbola, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, menší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou (nebo v případě, kdy je rovina řezu rovnoběžná s osou kužele) (obr. C)
Rovnice
editovatKuželová plocha (kvadratický kužel) s vrcholem v počátku, která v rovině prochází elipsou (tzv. řídicí křivka) je popsána rovnicí
Přímky, které tvoří povrch kužele, se nazývají tvořící přímky.
Tato plocha je asymptotickou plochou (asymptotickým kuželem) hyperboloidů
Pro jde o rotační kužel s osou rotace .
Kuželovou plochu s vrcholem v bodě je vždy možné vyjádřit rovnicí
Reference
editovat- ↑ MORÁVKOVÁ, Blanka. Úlohy s prostorovými tělesy v Mongeově zobrazovací metodě. 2006 [cit. 2023-04-20]. Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta. Dostupné online.
- ↑ HRUŠA, Karel; KRAEMER, Emil; SEDLÁČEK, Jiří; VYŠÍN, Jan; ZELENKA, Rudolf. Přehled elementární matematiky. třetí revidované. vyd. Praha: Státní nakladatelství technické literatury, 1962.
- ↑ DLOUHÁ, Michaela. Úlohy o objemu a povrchu těles v trojrozměrném prostoru [online]. Univerzita Karlova v Praze, Pedagogická fakulta, Katedra matematiky a didaktiky matematiky, 2012 [cit. 2023-04-20]. Bakalářská práce. Dostupné online.
- ↑ POMYKALOVÁ, Eva. Matematika pro gymnázia. Stereometrie. 3., upr. vyd. vyd. Praha: Prometheus 223 s. s. Dostupné online. ISBN 80-7196-178-7.
- ↑ KRÁLOVÁ, Alice. Odvození vzorců pro výpočet objemů a povrchů některých těles užitím integrálního počtu [online]. Studijní text. Mendelova univerzita v Brně, Lesnická a dřevařská fakulta [cit. 2023-04-24]. Dostupné online.
Literatura
editovat- Karel Rektorys a kolektiv: Přehled užité matematiky I, Prometheus, Praha 1995, ISBN 80-85849-92-5, str. 107-108
- Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, ISBN 978-80-7358-083-4, str. 122-123
Související články
editovatExterní odkazy
editovat- Obrázky, zvuky či videa k tématu kužel na Wikimedia Commons
- Slovníkové heslo kužel ve Wikislovníku