Otevřít hlavní menu

Parabola (matematika)

rovinná křivka druhého stupně
Parabola

Parabola je druh kuželosečky, rovinné křivky druhého stupně. Parabola je množina těch bodů roviny, které jsou stejně vzdáleny od dané přímky (tzv. řídicí přímka nebo také direktrix) jako od daného bodu, který na ní neleží (tzv. ohnisko neboli fokus).

Obsah

Vlastnosti, vyjádřeníEditovat

Parabola je pouze osově souměrná. Osa souměrnosti prochází ohniskem a je kolmá na řídicí přímku. Otáčením paraboly kolem její osy symetrie vznikne kvadratická rotační plocha, zvaná rotační paraboloid.

O parabole říkáme, že je v normální poloze, je-li její osa rovnoběžná s osou   nebo  .

Parabolu lze také definovat jako kuželosečku s výstředností rovnou jedné. Z toho vyplývá, že všechny paraboly jsou podobné, odtud také pramení název. Parabolu lze také chápat jako limitu posloupnosti elips, ve které je jedno ohnisko pevné a druhé ohnisko se postupně vzdaluje do nekonečna.

Matematická vyjádřeníEditovat

Implicitní vyjádření

 

Množina všech bodů X v rovině, které mají stejnou vzdálenost od ohniska F a od řídicí přímky d, která neprochází ohniskem F.

Kartézský souřadnicový systémEditovat

Standardní popis paraboly:

V[m, n] – vrchol paraboly o souřadnicích m, n
F – ohnisko paraboly
d – řídicí přímka
o – osa paraboly
|DF| = p – velikost parametru,  
 
X[x, y] – libovolný bod náležící parabole


Kanonický tvar rovniceEditovat

Kanonický (normální) tvar rovnice paraboly v normální poloze (osa paraboly je rovnoběžná s osou   a vrchol  ) v kartézských souřadnicích je

 

Pro   je parabola otevřená doprava a pro   je parabola otevřená doleva. Pro   dostaneme parabolu s vrcholem v počátku souřadnic.

Ohnisko takto zadané paraboly má souřadnice

 

a řídicí přímka je určena rovnicí

 

Kanonický tvar rovnice paraboly s osou v ose   a vrcholem v počátku souřadnicového systému lze zapsat jako

 

Pro   je parabola otevřená nahoru a pro   je otevřená dolů.

Rovnice kuželosečkyEditovat

Jestliže v rovnici kuželosečky položíme   a  , pak dostaneme parabolu v normální poloze (osa paraboly je rovnoběžná s osou  ), která má řídicí přímku

 

ohnisko má souřadnice

 

a souřadnice vrcholu jsou

 

Parametr má velikost

 

Podobně v případě   a   dostaneme parabolu v normální poloze (osa paraboly je rovnoběžná s osou  ). Pro řídicí přímku, ohnisko, vrchol a parametr pak dostaneme

 
 
 
 

Parabolu v obecné poloze lze do normální polohy převést otočením souřadnicové soustavy o úhel   určený vztahem

 
Charakteristické rovnice paraboly dle jejího umístěníEditovat
  • Osa paraboly   rovnoběžná s osou   mající minimum(bod V) na ose  .
Vrcholová rovnice:
 
Parametrické rovnice:
 
 
Obecná rovnice:
 
Rovnice řídicí přímky:
 
Rovnice tečny v bodě  :
 

Osa paraboly   rovnoběžná s osou   mající maximum(bod V) na ose  .

Vrcholová rovnice:
 
Parametrické rovnice:
 
 
Obecná rovnice:
 
Rovnice řídicí přímky:
 
Rovnice tečny v bodě  :
 
  • Osa paraboly   rovnoběžná s osou   mající minimum. Konvexní parabola.
Vrcholová rovnice:
 
Parametrické rovnice:
 
 
Obecná rovnice:
 
Rovnice řídicí přímky:
 
Rovnice tečny v bodě  :
 
  • Osa paraboly   rovnoběžná s osou   mající maximum. Konkávní parabola.
Vrcholová rovnice:
 
Parametrické rovnice:
 
 
Obecná rovnice:
 
Rovnice řídicí přímky:
 
Rovnice tečny v bodě  :
 
Převedení obecné rovnice na vrcholovouEditovat

Uspořádáme členy v rovnici.

 

Z prvních dvou členů vytkneme dvojku (koeficient) a doplníme je na druhou mocninu dvojčlenu.

 

Dále upravujeme rovnici tak, aby odpovídala vrcholovému tvaru.

 
 
 

Z výsledné rovnice snadno zjistíme vlastnosti paraboly.
Jedná se o parabolu, jejíž osa   je rovnoběžná se záporným směrem osy  .
 ,  ,  ,  , d:  

Vzájemná poloha paraboly a přímkyEditovat

Řešíme soustavu rovnic paraboly a přímky. Jestliže vyjde lineární rovnice, která má řešení – přímka je sečnou paraboly s jedním průsečíkem. Pakliže lineární rovnice nemá žádné řešení – přímka není sečna (žádný společný bod). Pokud vyjde kvadratická rovnice a diskriminant   je:

  • D > 0 dvě řešení – přímka je sečna se dvěma průsečíky
  • D = 0 jedno řešení – tečna s bodem dotyku, nebo přímka rovnoběžná s osou paraboly
  • D < 0 žádné řešení – přímka není sečna
Vzájemná poloha paraboly a boduEditovat

Jestliže převedeme všechny členy rovnice paraboly na levou stranu (anulujeme rovnici) a dosadíme souřadnice bodu, pak bude platit:

  • výsledná hodnota = 0 bod náleží parabole
  • výsledná hodnota > 0 bod se nachází ve vnější oblasti paraboly
  • výsledná hodnota < 0 bod se nachází ve vnitřní oblasti paraboly

Polární souřadnicový systémEditovat

 
Z polárních souřadnic je snadno vidět, že kruhovou inverzí paraboly je srdcovka

Parabola s ohniskem v počátku souřadnicového systému s vrcholem na záporné poloose x má obecnou rovnici:

 

kde   je parametr paraboly.

Odtud je vidět, že parametr paraboly má také význam poloviny délky tzv. latus rectum, což je tětiva kuželosečky kolmá na hlavní osu v ohnisku  . U paraboly se tato hodnota rovná čtyřnásobku ohniskové vzdálenosti.

Z polární rovnice lze rovněž nahlédnout, že parabola vznikne též kruhovou inverzí srdcovky.

Parabola ve skutečném světěEditovat

Trajektorií tělesa pohybujícího se v homogenním gravitačním poli (např. v blízkosti zemského povrchu) je právě parabola. Při započítání vlivu odporu vzduchu se tělesa pohybují po balistické křivce, viz volný pád.

Po parabole se také pohybuje těleso v centrálním gravitačním poli, pokud je jeho rychlost přesně rovna únikové rychlosti a směr se nerovná směru tohoto pole. Například dráhy, po nichž se pohybují některé komety, jsou velmi blízké parabolám.

Pokud se paprsek přicházející do paraboly (či paraboloidu) rovnoběžně s osou symetrie odrazí od paraboly/paraboloidu, bude procházet ohniskem (a naopak, paprsek vydávaný zdrojem umístěným v ohnisku vychází z paraboly/paraboloidu vždy rovnoběžně s osou symetrie). To je důvod, proč se vyrábějí parabolická zrcadla a antény (např. v reflektorech automobilů, dalekohledech, satelitních anténách apod.).

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat