Otevřít hlavní menu

Parabola (matematika)

rovinná křivka druhého stupně

Vlastnosti, vyjádřeníEditovat

Parabola je pouze osově souměrná. Osa souměrnosti prochází ohniskem a je kolmá na řídicí přímku. Otáčením paraboly kolem její osy symetrie vznikne kvadratická rotační plocha, zvaná rotační paraboloid.

O parabole říkáme, že je v normální poloze, je-li její osa rovnoběžná s osou   nebo  .

Parabolu lze také definovat jako kuželosečku s výstředností rovnou jedné. Z toho vyplývá, že všechny paraboly jsou podobné, odtud také pramení název. Parabolu lze také chápat jako limitu posloupnosti elips, ve které je jedno ohnisko pevné a druhé ohnisko se postupně vzdaluje do nekonečna.

Matematická vyjádřeníEditovat

Implicitní vyjádření

 

Množina všech bodů X v rovině, které mají stejnou vzdálenost od ohniska F a od řídicí přímky d, která neprochází ohniskem F.

Kartézský souřadnicový systémEditovat

Standardní popis paraboly:

V[m, n] – vrchol paraboly o souřadnicích m, n
F – ohnisko paraboly
d – řídicí přímka
o – osa paraboly
|DF| = p – velikost parametru,  
 
X[x, y] – libovolný bod náležící parabole


Kanonický tvar rovniceEditovat

Kanonický (normální) tvar rovnice paraboly v normální poloze (osa paraboly je rovnoběžná s osou   a vrchol  ) v kartézských souřadnicích je

 

Pro   je parabola otevřená doprava a pro   je parabola otevřená doleva. Pro   dostaneme parabolu s vrcholem v počátku souřadnic.

Ohnisko takto zadané paraboly má souřadnice

 

a řídicí přímka je určena rovnicí

 

Kanonický tvar rovnice paraboly s osou v ose   a vrcholem v počátku souřadnicového systému lze zapsat jako

 

Pro   je parabola otevřená nahoru a pro   je otevřená dolů.

Rovnice kuželosečkyEditovat

Jestliže v rovnici kuželosečky položíme   a  , pak dostaneme parabolu v normální poloze (osa paraboly je rovnoběžná s osou  ), která má řídicí přímku

 

ohnisko má souřadnice

 

a souřadnice vrcholu jsou

 

Parametr má velikost

 

Podobně v případě   a   dostaneme parabolu v normální poloze (osa paraboly je rovnoběžná s osou  ). Pro řídicí přímku, ohnisko, vrchol a parametr pak dostaneme

 
 
 
 

Parabolu v obecné poloze lze do normální polohy převést otočením souřadnicové soustavy o úhel   určený vztahem

 
Charakteristické rovnice paraboly dle jejího umístěníEditovat
  • Osa paraboly   rovnoběžná s osou   mající minimum(bod V) na ose  .
Vrcholová rovnice:
 
Parametrické rovnice:
 
 
Obecná rovnice:
 
Rovnice řídicí přímky:
 
Rovnice tečny v bodě  :
 

Osa paraboly   rovnoběžná s osou   mající maximum(bod V) na ose  .

Vrcholová rovnice:
 
Parametrické rovnice:
 
 
Obecná rovnice:
 
Rovnice řídicí přímky:
 
Rovnice tečny v bodě  :
 
  • Osa paraboly   rovnoběžná s osou   mající minimum. Konvexní parabola.
Vrcholová rovnice:
 
Parametrické rovnice:
 
 
Obecná rovnice:
 
Rovnice řídicí přímky:
 
Rovnice tečny v bodě  :
 
  • Osa paraboly   rovnoběžná s osou   mající maximum. Konkávní parabola.
Vrcholová rovnice:
 
Parametrické rovnice:
 
 
Obecná rovnice:
 
Rovnice řídicí přímky:
 
Rovnice tečny v bodě  :
 
Převedení obecné rovnice na vrcholovouEditovat

Uspořádáme členy v rovnici.

 

Z prvních dvou členů vytkneme dvojku (koeficient) a doplníme je na druhou mocninu dvojčlenu.

 

Dále upravujeme rovnici tak, aby odpovídala vrcholovému tvaru.

 
 
 

Z výsledné rovnice snadno zjistíme vlastnosti paraboly.
Jedná se o parabolu, jejíž osa   je rovnoběžná se záporným směrem osy  .
 ,  ,  ,  , d:  

Vzájemná poloha paraboly a přímkyEditovat

Řešíme soustavu rovnic paraboly a přímky. Jestliže vyjde lineární rovnice, která má řešení – přímka je sečnou paraboly s jedním průsečíkem. Pakliže lineární rovnice nemá žádné řešení – přímka není sečna (žádný společný bod). Pokud vyjde kvadratická rovnice a diskriminant   je:

  • D > 0 dvě řešení – přímka je sečna se dvěma průsečíky
  • D = 0 jedno řešení – tečna s bodem dotyku, nebo přímka rovnoběžná s osou paraboly
  • D < 0 žádné řešení – přímka není sečna
Vzájemná poloha paraboly a boduEditovat

Jestliže převedeme všechny členy rovnice paraboly na levou stranu (anulujeme rovnici) a dosadíme souřadnice bodu, pak bude platit:

  • výsledná hodnota = 0 bod náleží parabole
  • výsledná hodnota > 0 bod se nachází ve vnější oblasti paraboly
  • výsledná hodnota < 0 bod se nachází ve vnitřní oblasti paraboly

Polární souřadnicový systémEditovat

 
Z polárních souřadnic je snadno vidět, že kruhovou inverzí paraboly je srdcovka

Parabola s ohniskem v počátku souřadnicového systému s vrcholem na záporné poloose x má obecnou rovnici:

 

kde   je parametr paraboly.

Odtud je vidět, že parametr paraboly má také význam poloviny délky tzv. latus rectum, což je tětiva kuželosečky kolmá na hlavní osu v ohnisku  . U paraboly se tato hodnota rovná čtyřnásobku ohniskové vzdálenosti.

Z polární rovnice lze rovněž nahlédnout, že parabola vznikne též kruhovou inverzí srdcovky.

Parabola ve skutečném světěEditovat

Trajektorií tělesa pohybujícího se v homogenním gravitačním poli (např. v blízkosti zemského povrchu) je právě parabola. Při započítání vlivu odporu vzduchu se tělesa pohybují po balistické křivce, viz volný pád.

Po parabole se také pohybuje těleso v centrálním gravitačním poli, pokud je jeho rychlost přesně rovna únikové rychlosti a směr se nerovná směru tohoto pole. Například dráhy, po nichž se pohybují některé komety, jsou velmi blízké parabolám.

Pokud se paprsek přicházející do paraboly (či paraboloidu) rovnoběžně s osou symetrie odrazí od paraboly/paraboloidu, bude procházet ohniskem (a naopak, paprsek vydávaný zdrojem umístěným v ohnisku vychází z paraboly/paraboloidu vždy rovnoběžně s osou symetrie). To je důvod, proč se vyrábějí parabolická zrcadla a antény (např. v reflektorech automobilů, dalekohledech, satelitních anténách apod.).

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat