Otevřít hlavní menu
Geometrické otočení.

V geometrii představuje otočení neboli rotace v eukleidovské rovině geometrické zobrazení, které je charakterizováno tím, že spojnice všech bodů s pevně zvoleným bodem, tzn. středem otočení, se změní o stejný úhel a vzdálenost bodů od středu otáčení zůstává nezměněna.

Otočení v rovině kolem středu o (orientovaný) úhel je tedy takové shodné zobrazení, při kterém je obrazem bodu bod , pro který platí a velikost úhlu je . Obrazem středu otočení je opět bod .

Podobně se dá definovat rotace v třírozměrném prostoru jako otočení kolem jisté osy o pevný úhel. Tvar a velikost jednotlivých geometrických útvarů se při otočení nemění. Při otočení se také nemění dimenze otáčeného geometrického útvaru.

Otočení se řadí mezi shodná zobrazení.

Matice rotaceEditovat

Rotace v dvourozměrné Eukleidově rovině kolem počátku souřadnic o úhel   je dána vztahy

 
 .

Čárkované souřadnice   jsou souřadnice otočeného bodu, který měl před otočením souřadnice  . Podobně rotace v třírozměrném Eukleidově prostoru o úhel   kolem osy   je dáno vztahem

 
 
 

Obecná rotace v prostoru se dá zapsat ve vektorovém tvaru   kde   je ortogonální matice.

Matice rotace kolem osy  , kde  , o úhel   je

 

kde   jednotkovou matici řádu tři. Množina všech takových matic tvoří speciální ortogonální grupu  .

Rotace souřadnicEditovat

Někdy se předpokládá, že se objekty v prostoru nezměnily, ale otočil se "pozorovatel", což odpovídá změně souřadnic. Změna souřadnic, která je dána stejným vzorcem jako rotace v prostoru, se nazývá rotace souřadnic, anebo ortogonální transformace souřadnic. Pokud   jsou staré souřadnice a   nové souřadnice nějakého bodu nebo vektoru které vznikly rotací, pak platí

 

Rotace souřadnic o úhel   kolem nějaké osy je dáno stejným vzorcem jako geometrická rotace prostoru kolem stejné osy o opačný úhel.

Související článkyEditovat