Diskriminant

funkce, která na základě koeficientů polynomu poskytuje informaci o počtu a kvalitě jeho kořenů

Diskriminant je hodnota získaná z koeficientů polynomu, která umožňuje určit vlastnosti jeho kořenů. Používá se při řešení algebraických rovnic, především kvadratických, a také při studiu vlastností polynomických funkcí. Přesněji řečeno, je to polynomiální funkce získaná z koeficientů původního polynomu. Diskriminant je definován pro polynomy libovolného stupně, ale nejčastěji se používá pro zkoumání kvadratických polynomů.

V případě kvadratických rovnic rozhoduje diskriminant o množině, ve které se nachází její kořeny. Kvadratická rovnice má právě dva kořeny na množině komplexních čísel. Pro se kořeny nachází na množině reálných čisel, která je podmnožinou množiny komplexních čísel.

Diskriminant lze také obecněji definovat pro kvadratické formy.

Diskriminant kvadratických rovnic Editovat

Pro kvadratickou rovnici   (kde  ) je diskriminant  .

Znaménko diskriminantu určuje charakter kořenů:

  • Pokud  , pak má daná rovnice právě dva různé reálné kořeny  .
  • Pokud  , pak má daná rovnice právě jeden dvojnásobný reálný kořen  .
  • Pokud  , pak má daná rovnice právě dva různé imaginární sdružené kořeny  .

Diskriminant ryze kvadratické rovnice, dané předpisem:   (kde  ), je  :

  • Pokud   (liší se znaménko   a  ), má daná rovnice dva navzájem opačné kořeny:  .
  • Pokud   (shoduje se znaménko   a  ), má daná rovnice dva navzájem opačné imiganinární kořeny:  .

Diskriminantem kvadratické rovnice v normovaném tvaru, dané předpisem  , je  .

Diskriminant triviální kvadratické rovnice   (kde  ,  ) je roven  .

Vyjádření diskriminantu pomocí kořenů polynomu druhého stupně Editovat

Související informace naleznete také v článku Viètovy vzorce.

Pro kořeny   polynomu druhého stupně platí:

 

  ;  .

Vyjádření:    ;

Dosazením do vzorce pro výpočet diskriminantu:  

Diskriminant polynomu druhého stupně (kvadratické rovnice) s kořeny   je dán vztahem:  

  • Dva různé reálné kořeny   pro:  
  • Jeden dvojnásobný reálný kořen   pro:  
  • Dva komplexně sdružené imaginární kořeny   pro:  

Diskriminant kubických rovnic Editovat

U kubické rovnice   (kde  ) je diskriminant  .

Lze zjednodušit na   (pomocí Viètových vzorců). S reálnými keoficienty platí:

  • Tři různé reálné kořeny   pro:  
  • Alespoň dva stejné kořeny   ze tří reálných pro:  
  • Jeden reálný a dva imaginární, komplexně sdružené kořeny pro  .

Diskriminant polynomu n−tého stupně Editovat

Diskriminantem polynomu  −tého stupně s kořeny   rozumíme výraz  

Pro účely výpočtu možno rozepsat (viz Vandermondův determinant):

 

Reference Editovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Diskriminante na německé Wikipedii.


Související články Editovat

Externí odkazy Editovat