Diskriminant

funkce, která na základě koeficientů polynomu poskytuje informaci o počtu a kvalitě jeho kořenů

Diskriminant (latinsky discriminare - rozlišit) je hodnota získaná z koeficientů polynomu, která umožňuje určit vlastnosti jeho kořenů, aniž bychom je znali. Používá se při řešení algebraických rovnic, především kvadratických, a také při studiu vlastností polynomických funkcí. Přesněji řečeno, je to polynomiální funkce získaná z koeficientů původního polynomu. Diskriminant je definován pro polynomy libovolného stupně, ale nejčastěji se používá pro zkoumání kvadratických polynomů.

Grafy kvadratických funkcí v závislosti na hodnotě diskriminantu Δ. Znaménko diskriminantu určuje počet průsečíků s osou x (přímkou y = 0) a tedy počet (reálných) kořenů odpovídající kvadratické rovnice

Např. v případě kvadratických rovnic s reálnými koeficienty rozhoduje diskriminant o množině, ve které se nacházejí její kořeny a o jejich násobnosti. Pro jsou kořeny z množiny reálných čisel, která je podmnožinou množiny komplexních čísel. Právě pro má rovnice dvojnásobný (reálný) kořen. Pro jsou oba kořeny imaginární.

Diskriminant lze také obecněji definovat pro kvadratické formy.

Diskriminant kvadratických rovnic

editovat

Pro kvadratickou rovnici   (kde  ) je diskriminant  .

U rovnic s reálnými koeficienty znaménko diskriminantu určuje charakter kořenů:

  • Pokud  , pak má daná rovnice právě dva různé reálné kořeny  .
  • Pokud  , pak má daná rovnice právě jeden dvojnásobný reálný kořen  .
  • Pokud  , pak má daná rovnice právě dva různé imaginární sdružené kořeny  .

Diskriminant ryze kvadratické rovnice, dané předpisem:   (kde  ), je  :

  • Pokud   (liší se znaménko   a  ), má daná rovnice dva navzájem opačné kořeny:  .
  • Pokud   (shoduje se znaménko   a  ), má daná rovnice dva navzájem opačné imiganinární kořeny:  .

Diskriminantem kvadratické rovnice v normovaném tvaru

 

je  .

U rovnic s komplexními koeficienty diskriminant jen určuje existenci násobného kořene - právě v tomto případě je nulový.

Vyjádření diskriminantu pomocí kořenů polynomu druhého stupně

editovat
Související informace naleznete také v článku Viètovy vzorce.

Pro kořeny   polynomu druhého stupně platí:

 

  ;  .

Vyjádření:    ;

Dosazením do vzorce pro výpočet diskriminantu:  

Diskriminant polynomu druhého stupně (kvadratické rovnice) s kořeny   je dán vztahem:  

  • Dva různé reálné kořeny   pro:  
  • Jeden dvojnásobný reálný kořen   pro:  
  • Dva komplexně sdružené imaginární kořeny   pro:  

Diskriminant kubických rovnic

editovat

U kubické rovnice   (kde  ) se diskriminant definuje s pomocí jejích kořenů   vztahem

 

Lze ho vyjádřit díky symetrii (pomocí Viètových vzorců) jen pomocí koeficientů rovnice jako

 

S reálnými koeficienty platí:

  • Tři různé reálné kořeny pro  
  • Násobný kořen ze tří reálných pro  
  • Jeden reálný a dva imaginární sdružené kořeny pro  

U rovnice v redukovaném tvaru

 

se počítá diskriminant jednodušeji jako

 

což je  

Diskriminant polynomu n−tého stupně

editovat

Diskriminantem polynomu  −tého stupně s kořeny   rozumíme výraz  

 

Jedná se v podstatě o součin všech kvadrátů rozdílů neuspořádaných dvojic kořenů. Proto je roven nule, právě když existuje násobný kořen.

U rovnice s reálnými koeficienty platí, že pokud má všechny kořeny reálné, je diskriminant nezáporný. Opak platí jen u rovnic nejvýše třetího stupně.

Diskriminant polynomu stupně n je symetrický polynom stupně n(n-1) jeho kořenů a lze jej vyjádřit pomocí Vietových vzorců jen pomocí koeficientů polynomu.

Diskriminant úzce souvisí s Vandermondovým determinantem:

 .

Reference

editovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Diskriminante na německé Wikipedii.


Související články

editovat

Externí odkazy

editovat