Diskriminant

funkce, která na základě koeficientů polynomu poskytuje informaci o počtu a kvalitě jeho kořenů

Diskriminant je polynom s reálnými nebo komplexními koeficienty, který se používá při řešení algebraických rovnic, především kvadratických, také při studiu vlastností polynomických funkcí.

Diskriminant kvadratických rovnicEditovat

Pro kvadratickou rovnici   (kde  ) je diskriminant  .

Znaménko diskriminantu určuje charakter kořenů:

  • Pokud  , pak má daná rovnice právě dva různé reálné kořeny  .
  • Pokud  , pak má daná rovnice právě jeden dvojnásobný reálný kořen  .
  • Pokud  , pak má daná rovnice právě dva různé imaginární sdružené kořeny  .

Diskriminant ryze kvadratické rovnice, dané předpisem:   (kde  ), je  ; pokud je kladný (liší se znaménko   a  ), má daná rovnice dva navzájem opačné kořeny:  .

Diskriminantem kvadratické rovnice v normovaném tvaru, dané předpisem:  , je  .

Diskriminant triviální kvadratické rovnice   (kde  ) je roven  .

Vyjádření diskriminantu pomocí kořenů polynomu druhého stupněEditovat

Související informace naleznete také v článku Viètovy vzorce.

Pro kořeny   polynomu druhého stupně platí:

 

  ;  .

Vyjádření:    ;

Dosazením do vzorce pro výpočet diskriminantu:  

Diskriminant polynomu druhého stupně (kvadratické rovnice) s kořeny   je dán vztahem:  

  • Dva různé reálné kořeny   pro:  
  • Jeden dvojnásobný reálný kořen   pro:  
  • Dva komplexně sdružené imaginární kořeny   pro:  

Diskriminant kubických rovnicEditovat

U kubické rovnice   (kde  ) je diskriminant  .

Lze zjednodušit na   (pomocí Viètových vzorců). S reálnými keoficienty platí:

  • Tři různé reálné kořeny   pro:  
  • Alespoň dva stejné kořeny   ze tří reálných pro:  
  • Jeden reálný a dva imaginární, komplexně sdružené kořeny pro  .

Diskriminant polynomu n−tého stupněEditovat

Diskriminantem polynomu  −tého stupně s kořeny   rozumíme výraz  

Pro účely výpočtu možno rozepsat (viz Vandermondův determinant):

 

ReferenceEditovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Diskriminante na německé Wikipedii.


Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat