Každý polynom n-tého stupně (pro n ≥1)
p
(
x
)
=
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
⋯
+
a
1
x
+
a
0
{\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\,}
a
n
,
a
n
−
1
,
⋯
,
a
1
,
a
0
{\displaystyle a_{n},a_{n-1},\cdots ,a_{1},a_{0}}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
a n ≠ 0, má dle základní věty algebry nejvýše n komplexních kořenů x 1 , x 2 , ..., x n n rovnic, které vedou k nalezení n kořenů:
{
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
−
1
+
x
n
=
−
a
n
−
1
a
n
(
x
1
x
2
+
x
1
x
3
+
⋯
+
x
1
x
n
)
+
(
x
2
x
3
+
x
2
x
4
+
⋯
+
x
2
x
n
)
+
⋯
+
x
n
−
1
x
n
=
a
n
−
2
a
n
⋮
x
1
x
2
…
x
n
=
(
−
1
)
n
a
0
a
n
.
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}={\tfrac {-a_{n-1}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\{}\quad \vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {a_{0}}{a_{n}}}.\end{cases}}}
Výrazy vlevo jsou tzv. elementární symetrické polynomy n proměnných (prvního až n-tého stupně).
σ
k
(
x
1
,
.
.
.
,
x
n
)
=
(
−
1
)
k
a
n
−
k
a
n
.
{\displaystyle \sigma _{k}{(x_{1},...,x_{n})}=(-1)^{k}{\tfrac {a_{n-k}}{a_{n}}}.}
Tato soustava rovnic však zpravidla nemá jednodušší řešení než původní rovnice.
Poslední vzorec (pro součin kořenů) se používá k nalezení celočíselných nebo racionálních kořenů.
Polynom druhého stupně je obecně řešitelný pomocí hledání diskriminantu , pro příklad však uveďme také řešení pomocí Viètových vzorců.
Mějme polynom:
p
(
x
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle p(x)=ax^{2}+bx+c}
x
1
,
x
2
{\displaystyle x_{1},x_{2}}
p
(
x
)
=
0
{\displaystyle p(x)=0}
x
1
+
x
2
=
−
b
a
,
x
1
x
2
=
c
a
{\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}}
Pro racionální koeficienty lze někdy pomocí těchto vzorců kořeny uhádnout. Pro polynom třetího stupně tedy můžeme analogicky psát následující.
Mějme polynom:
q
(
x
)
=
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
{\displaystyle q(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}
x
1
,
x
2
,
x
3
{\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}
q
(
x
)
=
0
{\displaystyle q(x)=0}
x
1
+
x
2
+
x
3
=
−
b
a
,
x
1
x
2
+
x
1
x
3
+
x
2
x
3
=
c
a
,
x
1
x
2
x
3
=
−
d
a
{\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}},\quad x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}}
