Viètovy vzorce

Viètovy vzorce, pojmenované po Françoisi Viètovi, jsou obecným návodem, který umožňuje hledání kořenů polynomů.

Obecný zápisEditovat

Každý polynom n-tého stupně (pro n≥1)   s koeficienty   náležejícími   či  , kde an≠ 0, má dle základní věty algebry nejvýše n komplexních kořenů x1x2, ..., xn. Viètovy vzorce potom předepisují n rovnic, které vedou k nalezení n kořenů:

 
Výrazy vlevo jsou tzv. elementární symetrické polynomy n proměnných (prvního až n-tého stupně). Tato soustava rovnic však zpravidla nemá jednodušší řešení než původní rovnice.
Poslední vzorec (pro součin kořenů) se používá k nalezení celočíselných nebo racionálních kořenů.

PříkladEditovat

Polynom druhého stupně je obecně řešitelný pomocí hledání diskriminantu, pro příklad však uveďme také řešení pomocí Viètových vzorců.

Mějme polynom:  , s kořeny  , kde  . Potom můžeme psát:
 
Pro racionální koeficienty lze někdy pomocí těchto vzorců kořeny uhádnout.

Pro polynom třetího stupně tedy můžeme analogicky psát následující.

Mějme polynom:  , s kořeny  , kde  . Potom:
 

ReferenceEditovat

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Viète's formulas na anglické Wikipedii.