Otevřít hlavní menu

Základní věta algebry (též označovaná jako Fundamentální věta algebry[1]) je důležité matematické tvrzení, které má fundamentální význam v algebře, ale podstatnou roli hraje i v dalších odvětvích matematiky. Říká, že každý polynomkomplexními koeficienty stupně má alespoň jeden komplexní kořen. Nejstarší publikovaný důkaz pochází od Jeana-Roberta Arganda z roku 1806.

Obsah

Přesné zněníEditovat

Nechť   je polynom s koeficienty   stupně  . Pak existuje číslo  , že  .

DůkazyEditovat

Ačkoli je základní věta algebry čistě algebraickým tvrzením, není dosud znám žádný čistě algebraický důkaz. Všechny známé důkazy této věty využívají více či méně metod matematické analýzy.

Komplexně analytický důkazEditovat

Základní věta algebry je snadným důsledkem Liouvillovy větykomplexní analýzy:

Je-li f holomorfní omezená funkce na  , pak f je konstantní.

Dále se dokazuje sporem. Nechť nějaký polynom P(x) s komplexními koeficienty a nenulového stupně nemá komplexní kořen. Pak funkce g(x) daná předpisem   je definována na celém  . Dále jistě v komplexní rovině existuje kruh K se středem v nule takový, že   pro x ležící mimo K. Protože |P(x)| je spojitá funkce nenulová na K a K je kompaktní, existuje  , že   pro x z K. Potom   pro každé  . Tedy g(x) je omezená na   a holomorfní je zřejmě. Podle Liouvillovy věty tedy je g(x) konstantní a tedy i P(x) je konstantní, což je spor.

DůsledkyEditovat

Související článkyEditovat

ReferenceEditovat

  1. P. Olšák, Úvod do algebry, zejména lineární, 2007, FEL ČVUT Praha, ISBN 978-80-01-03775-1
  • A.-L. Cauchy, Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique, 1ère partie: Analyse Algébrique, 1992, Éditions Jacques Gabay, ISBN 2-87647-053-5
  • B. Fine and G. Rosenberger, The Fundamental Theorem of Algebra, 1997, Springer-Verlag, ISBN 0-387-94657-8
  • C. Gilain, “Sur l'histoire du théorème fondamental de l'algèbre: théorie des équations et calcul intégral”, Archive for History of Exact Sciences, 42 (1991), 91–13
  • E. Netto and R. Le Vavasseur, “Les fonctions rationnelles §80–88: Le théorème fondamental”, in Encyclopédie des Sciences Mathématiques Pures et Appliquées, tome I, vol. 2, 1992, Éditions Jacques Gabay, ISBN 2-87647-101-9
  • R. Remmert, “The Fundamental Theorem of Algebra”, v Numbers, 1991, Springer-Verlag, ISBN 0-387-97497-0
  • D. E. Smith, “A Source Book in Mathematics”, 1959, Dover Publications, ISBN 0-486-64690-4

Externí odkazyEditovat