Otevřít hlavní menu

Polynom (též mnohočlen) je výraz ve tvaru

,

kde . Čísla se nazývají koeficienty polynomu.

Stupeň polynomuEditovat

Stupněm polynomu p(x) rozumíme nejvyšší exponent proměnné x s nenulovým koeficientem, značíme jej st. p(x) nebo deg p(x). Stupeň kvadratického polynomu (např. p(x) = x2 – 3×) je tedy 2, stupeň konstantního polynomu (např. p(x) = 7) je 0. Pro nulový polynom (p(x) = 0) se jeho stupeň definuje deg p(x) =  .

Příklady polynomůEditovat

  •   je polynom 1. stupně (lineární polynom)
  •   je polynom 2. stupně (kvadratický polynom)
  •   je polynom 3. stupně (kubický polynom)

Operace s polynomyEditovat

Mějme polynom  -tého stupně  , a polynom  -tého stupně  .

  • Oba polynomy se vzájemně rovnají, tzn.   pro všechna   pouze tehdy, je-li   a pro každé   platí  .
  • Sečtením polynomů   a   získáme polynom
 ,

kde   je stupeň výsledného polynomu.

  • Součin polynomů   je polynom  , který získáme vzájemným vynásobením jednotlivých členů obou polynomů, přičemž stupeň nového polynomu je  .
  • Platí tedy, že  .
  • Je-li kde  , pak existují právě dva polynomy   takové, že platí
 

kde   má stupeň menší než   nebo je nulovým polynomem. Pokud   je nulový polynom, pak říkáme, že polynom   je dělitelný polynomem  .

Hornerovo schémaEditovat

Polynom   lze zapsat ve tvaru

 

Tento zápis lze využít k výpočtu hodnoty polynomu   v bodě   postupem, který bývá označován jako Hornerovo schéma. Zapíšeme-li

 ,
 ,
 ,
 ,

pak poslední číslo   představuje právě hodnotu polynomu   v bodě  .

PříkladyEditovat

  • Mějme polynomy  ,  
 
 
  • Pokusme se zjistit, zda je polynom   dělitelný polynomem  .

Vydělíme člen s nejvyšší mocninou polynomu   členem s nejvyšší mocninou polynomu  , tzn.  . První člen polynomu   tedy bude  . Tímto členem vynásobíme polynom   (dostaneme tedy  ) a výsledek odečteme od polynomu  , čímž získáme nový polynom  .

Nejvyšší člen polynomu   opět dělíme nejvyšším členem polynomu  , tzn.  , tzn. další člen polynomu   je  . Tímto členem opět násobíme polynom  , tzn. získáme  , a výsledek odečteme od polynomu  . Získáme nový polynom  .

Stupeň polynomu   je však nižší než stupeň polynomu  , proto již nelze pokračovat v dělení. Polynom   tedy odpovídá polynomu  .

Výsledek tedy je

 ,

tzn.   a  .

Vzhledem k tomu, že  , není polynom   dělitelný polynomem  .

Kořen polynomuEditovat

Číslo   se nazývá kořen polynomu  , jestliže platí

 

Této skutečnosti, společně se základní větou algebry, se využívá při řešení algebraických rovnic.

VlastnostiEditovat

  • Je-li   kořenem polynomu   stupně  , pak
 ,

kde   je polynom stupně  .

  • Z předchozího plyne, že pokud je známo pouze   kořenů polynomu  -tého stupně, můžeme opakovaným použitím předchozího rozkladu rozložit libovolný polynom   na součin kořenových činitelů, které obsahují známé kořeny polynomu, a polynomu   stupně  , tzn.
 ,

kde   představují známé kořeny polynomu  . Pro nalezení zbývajících kořenů polynomu   stačí hledat pouze kořeny polynomu  , tzn. řešit rovnici  , neboť tyto kořeny jsou také zbývajícími kořeny polynomu  . Polynom   získáme z polynomu   jeho vydělením výrazem  .

Rozklad na kořenové činiteleEditovat

  • Důsledkem předchozí vlastnosti je skutečnost, že každý polynom   stupně   lze zapsat ve tvaru
 ,

kde   jsou kořeny polynomu  . Členy   označujeme jako kořenové činitele. Ke každému polynomu existuje pouze jediný součin kořenových činitelů (pořadí jednotlivých kořenových činitelů v součinu není důležité).

Násobnost kořeneEditovat

  • Jestliže se v rozkladu na kořenové činitele vyskytují někteří kořenoví činitelé vícekrát, můžeme psát
 ,

kde  , přičemž   jsou přirozená čísla. Čísla   určují násobnost kořene  , tzn. kolikrát se kořen   vyskytuje v řešení polynomu.

  • Pokud má polynom stupně   s reálnými koeficienty  -násobný kořen  , má také  -násobný kořen  . To má za následek, že každý takový polynom je dělitelný polynomem  .
  • Podle předchozího tvrzení lze každý polynom   stupně   s reálnými koeficienty vyjádřit jako součin reálného čísla  , reálných kořenových činitelů   a reálných trojčlenů  , splňujících podmínku  , tzn.
 ,

kde   jsou reálná čísla, přičemž je splněna podmínka  .

Také v předchozím rozkladu se někteří kořenoví činitelé mohou vyskytovat vícenásobně, tzn.

 ,

kde   určuje počet reálných kořenů polynomu a   je polovina z celkového počtu všech komplexních kořenů polynomu.

  • Z předchozího zápisu plyne, že každý polynom lichého stupně s reálnými koeficienty má alespoň jeden reálný kořen.
  • Pokud jsou   kořeny polynomu  , potom pro tyto kořeny platí následující vztahy
 
 
 

Derivace polynomuEditovat

  • Derivací polynomu   rozumíme polynom tvaru  . Derivaci značíme   '

(Pozn. Derivací nulového polynomu je nulový polynom.)

  • n-tou derivací rozumíme výraz definovaný pomocí indukce

  '

  '

Souvislost derivace a násobnosti kořeneEditovat

Číslo   je k-násobný kořen polynomu právě tehdy, když je kořenem polynomu a jeho derivací až do řádu   (a není kořenem derivace řádu  ).

Polynom dvou proměnnýchEditovat

Funkci   dvou proměnných   označíme jako polynom, pokud existují přirozená čísla   a konstanty   takové, že platí

 .

Související článkyEditovat

Externí odkazyEditovat