Vandermondova matice

Vandermondova matice, pojmenovaná po Alexandru-Théophilovi Vandermondovi, je matematický termín označující matici, která v každém řádku obsahuje po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti počínaje jedničkou, tedy matici

neboli matici, kde lze prvek na pozici i,j vyjádřit předpisem

V případě čtvercové Vandermondovy matice je možné počítat její determinant, ten je roven

Tento determinant bývá označován Vandermondův determinant.

Čtvercová Vandermondova matice je regulární, právě když hodnoty jsou různé.

Využití Vandermondovy maticeEditovat

Vandermondova matice se používá např. v případech, kdy známe množinu bodů (tj. hodnoty   a hodnoty  ) a potřebujeme zjistit polynom, který jimi prochází (tj. koeficienty  ). Řešíme následující soustavu:

 

Diskrétní Fourierova transformaceEditovat

Diskrétní Fourierova transformace (a její inverze) se dají zapsat jako násobení vstupního vektoru délky   konkrétní Vandermondovou maticí z  . Hodnoty   v definici V. matice jsou komplexní odmocniny z 1. Při značení z předchozího příkladu počítá DFT hodnoty   jako hodnoty polynomu s (komplexními) koeficienty   v bodech  , kde   pro zvolenou  , tj.  -tou primitivní odmocninu z 1.