Geometrická posloupnost
Geometrická posloupnost je druh matematické posloupnosti, kde každý člen kromě prvního je stálým násobkem předchozího členu. Tento násobek se nazývá kvocient geometrické posloupnosti a pro posloupnosti s nenulovými členy je roven podílu libovolného členu kromě prvního a členu předchozího.
Geometrickou posloupnost s nezápornými členy lze chápat jako zúžení exponenciální funkce na obor přirozených čísel (připouštíme však i základ 0 a 1) a proto i pro svou jednoduchost je jedním z nejdůležitějších typů posloupností.
Vyjádření členů posloupnosti
editovatPro vyjádření n-tého členu geometrické posloupnosti s kvocientem q lze použít různé vztahy.
Rekurentní zadání
editovatGeometrické posloupnosti lze definovat jako řešení lineární rekurentní rovnice 1. řádu s konstantními koeficienty:
Řešením lze zjistit vzorec pro libovolný člen:
První člen a1 má libovolnou hodnotu (je to tzv. počáteční podmínka), obecný vztah pro n-tý člen se dokáže snadno matematickou indukcí.
Zadání vzorcem pro n-tý člen
editovat- .
Příklad
editovatNapříklad je-li , pak několik prvních členů geometrické posloupnosti je: 2, 6, 18, 54, 162, 486 …
Pro se jedná o posloupnost 1, -1, 1, -1, ...
Kvocient
editovatPro kvocient q a libovolné členy posloupnosti a platí:
Součet prvních n členů
editovatSoučet prvních n členů geometrické posloupnosti se vypočítá (pro q≠1):
a pro q=1 samozřejmě (jedná se pak o konstantní aritmetickou posloupnost):
Tento zvláštní případ lze také dostat z předchozího vzorce limitním přechodem pro .
Vztahy platí v libovolném komutativním tělese, např. komplexních čísel.
Příklad
editovatSoučet prvních pěti členů posloupnosti z předchozího příkladu ( ) je:
Odvození vzorce
editovatSoučet prvních n členů geometrické posloupnosti lze vyjádřit jako .
Vynásobením obou stran rovnice kvocientem q vznikne .
Odečtením první rovnice od druhé vyjde .
Takže (je-li q různé od 1) platí
.
Pro q = 1 je součet prvních n členů triviální, jedná se o (konstantní) aritmetickou posloupnost (lze dostat i limitním přechodem),
Jiný způsob odvození vzorce
editovatSoučet prvních členů posloupnosti lze spočítat „hrubou silou“ následovně:
- ,
kde členy lze vyjádřit pomocí :
- ,
přičemž ze součtu lze vytknout :
- .
Obdobně lze získat i vztah pro součet prvních členů (ve skutečnosti nás příliš nezajímá, ale bude se hodit pro další odvozování):
Tento vzorec se ovšem velmi podobá předchozímu vztahu pro . V podstatě lze vypočítat z dvěma způsoby:
- Součet má o jeden (poslední) člen více než :
- Závorka v je vlastně závorka z vynásobená a ještě k ní je zleva přičtena 1:
- Po vynásobení lze tuto skutečnost aplikovat na a :
Získali jsme tak dvě různé možnosti, jak vypočítat . Protože tyto dvě možnosti musí dávat stejný výsledek, lze mezi ně položit rovnítko:
Z takto sestavené rovnice lze po několika úpravách získat hledaný vzorec pro výpočet (v tomto okamžiku už pro nás vlastní součet přestává být zajímavý):
Geometrická řada
editovatSoučet členů geometrické posloupnosti je označován jako geometrická řada.
Součet geometrické řady je dán jako limita posloupnosti n-tých částečných součtů. Platí tedy
Geometrická řada tedy konverguje, je-li absolutní hodnota kvocientu q menší než 1.
Vyjádření periodického čísla zlomkem pomocí geometrické řady
editovat- Příklad
Napište jako zlomek s celočíselným čitatelem i jmenovatelem:
Zapíšeme nejprve jako desetinný rozvoj:
...
Pak (|q| < 1) → konvergentní řada → můžeme vypočítat její součet pomocí vzorečku:
kde = 1. člen posloupnosti, q = kvocient
Souvislost s geometrickým průměrem
editovatPro geometrickou posloupnost komplexních čísel platí, že absolutní hodnota každého členu kromě prvního je geometrickým průměrem absolutních hodnot sousedních členů:
Obráceně pokud tato vlastnost platí pro všechny členy posloupnosti (s nezápornými členy) počínaje druhým, tak se jedná o geometrickou posloupnost. Dokáže se např. převedením na aritmetickou posloupnost (logaritmováním).
Souvislost s aritmetickou posloupností
editovatJe-li posloupnost geometrická s kladnými členy, tak je posloupnost aritmetická (pro libovolný základ b>0, b≠1).
Je-li posloupnost aritmetická, tak je posloupnost geometrická (pro libovolný základ b≥0).