Otevřít hlavní menu

Geometrická posloupnost je druh matematické posloupnosti, kde každý člen kromě prvního je stálým násobkem předchozího členu. Tento násobek se nazývá kvocient geometrické posloupnosti a pro posloupnosti s nenulovými členy je roven podílu libovolného členu kromě prvního a členu předchozího.

Geometrickou posloupnost s nezápornými členy lze chápat jako zúžení exponenciální funkce na obor přirozených čísel (připouštíme však i základ 0 a 1) a proto i pro svou jednoduchost je jedním z nejdůležitějších typů posloupností.

Vyjádření členů posloupnostiEditovat

Pro vyjádření n-tého členu geometrické posloupnosti s kvocientem q lze použít různé vztahy.

Rekurentní zadáníEditovat

Geometrické posloupnosti lze definovat jako řešení lineární rekurentní rovnice 1. řádu s konstantními koeficienty:

 

Řešením lze zjistit vzorec pro libovolný člen:

 

První člen a1 má libovolnou hodnotu (je to tzv. počáteční podmínka), obecný vztah pro n-tý člen se dokáže snadno matematickou indukcí.

Zadání vzorcem pro n-tý členEditovat

 .

PříkladEditovat

Například je-li  , pak několik prvních členů geometrické posloupnosti je: 2, 6, 18, 54, 162, 486 …

Pro   se jedná o posloupnost 1, -1, 1, -1, ...

Součet prvních n členůEditovat

Součet prvních n členů geometrické posloupnosti se vypočítá (pro q≠1):

 

a pro q=1 samozřejmě (jedná se pak o konstantní aritmetickou posloupnost):

 

Tento zvláštní případ lze také dostat z předchozího vzorce limitním přechodem pro  .

Vztahy platí v libovolném komutativním tělese, např. komplexních čísel.

PříkladEditovat

Součet prvních pěti členů posloupnosti z předchozího příkladu ( ) je:

 

Odvození vzorceEditovat

Součet prvních n členů geometrické posloupnosti lze vyjádřit jako  .

Vynásobíme-li obě strany rovnice kvocientem q, dostaneme  .

Odečtením první rovnice od druhé dostaneme  .

Takže (je-li q různé od 1), platí

 .

Pro q = 1 je součet prvních n členů triviální, jedná se o (konstantní) aritmetickou posloupnost (lze dostat i limitním přechodem),

 

Jiný způsob odvození vzorceEditovat

Součet prvních   členů posloupnosti lze spočítat „hrubou silou“ následovně:

 ,

kde členy   lze vyjádřit pomocí  :

 ,

přičemž ze součtu lze vytknout  :

 .

Obdobně lze získat i vztah pro součet prvních   členů (ve skutečnosti nás   příliš nezajímá, ale bude se hodit pro další odvozování):

 

Tento vzorec se ovšem velmi podobá předchozímu vztahu pro  . V podstatě lze   vypočítat z   dvěma způsoby:

  • Součet   má o jeden (poslední) člen více než  :
 
  • Závorka   v   je vlastně závorka   z   vynásobená   a ještě k ní je zleva přičtena 1:
 
Po vynásobení   lze tuto skutečnost aplikovat na   a  :
 
 

Získali jsme tak dvě různé možnosti, jak vypočítat  . Protože tyto dvě možnosti musí dávat stejný výsledek, lze mezi ně položit rovnítko:

 

Z takto sestavené rovnice lze po několika úpravách získat hledaný vzorec pro výpočet   (v tomto okamžiku už pro nás vlastní součet   přestává být zajímavý):

 
 
 

Geometrická řadaEditovat

Součet členů geometrické posloupnosti je označován jako geometrická řada.

Součet geometrické řady je dán jako limita posloupnosti n-tých částečných součtů. Platí tedy

 

Geometrická řada tedy konverguje pouze tehdy, je-li absolutní hodnota kvocientu q menší než 1.

Vyjádření periodického čísla zlomkem pomocí geometrické řadyEditovat

Příklad

Napište jako zlomek s celočíselným čitatelem i jmenovatelem:  

Zapíšeme nejprve jako desetinný rozvoj:

 ...

Pak   (|q| < 1) => konvergentní řada => můžeme vypočítat její součet pomocí vzorečku:

 

kde   = 1. člen posloupnosti, q = kvocient

 

 

Souvislost s geometrickým průměremEditovat

Pro geometrickou posloupnost komplexních čísel platí, že absolutní hodnota každého členu kromě prvního je geometrickým průměrem absolutních hodnot sousedních členů:

 

Obráceně pokud tato vlastnost platí pro všechny členy posloupnosti (s nezápornými členy) počínaje druhým, tak se jedná o geometrickou posloupnost. Dokáže se např. převedením na aritmetickou posloupnost (logaritmováním).

Souvislost s aritmetickou posloupnostíEditovat

Je-li posloupnost   geometrická s kladnými členy, tak je posloupnost   aritmetická (pro libovolný základ b>0, b≠1).

Je-li posloupnost   aritmetická, tak je posloupnost   geometrická (pro libovolný základ b≥0).

Související článkyEditovat