Aritmetická posloupnost

posloupnost s konstantním rozdílem mezi po sobě jdoucími prvky

Aritmetická posloupnost je druh matematické posloupnosti, kde je stálý rozdíl mezi sousedními členy. Tento rozdíl mezi libovolným členem kromě prvního a předcházejícím členem se obvykle značí d a nazývá diference.

Aritmetickou posloupnost lze chápat jako lineární funkci definovanou v oboru přirozených čísel a proto i pro svou jednoduchost je jedním z nejdůležitějších typů posloupností.

Zobecněním je aritmetická posloupnost vyššího řádu (někdy též vyššího stupně), jejíž i-tý člen lze vyjádřit jako hodnotu nějakého pevného polynomu pro dané i. Řád aritmetické posloupnosti pak definujeme jako stupeň tohoto polynomu, přičemž posloupnost samých nul má řád -1.[1]

VzorceEditovat

V následujících vzorcích označuje   n-tý člen aritmetické posloupnosti a d její diferenci.

Rekurentní zadáníEditovat

  • známe některý člen a jeho index:  
  • známe rekurentní vzorec vyjadřující, že sousední členy se liší o konstantu:  

Zadání vzorcem pro n-tý členEditovat

  •  

Vyjádření r-tého členu z s-téhoEditovat

  •  

Součet prvních n členůEditovat

  •  

Odvození vzorce pro součet prvních n členůEditovat

Součet prvních   členů aritmetické posloupnosti lze spočítat následovně:

 

Napišme součet znovu, ale v obráceném pořadí sčítanců:

 

Vidíme, že součty odpovídajících členů "pod sebou" jsou stejné:

 
 

PříkladEditovat

Například je-li   a  , pak několik prvních členů aritmetické posloupnosti je: -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13, …

Souvislost s aritmetickým průměremEditovat

Pro aritmetickou posloupnost platí, že každý člen kromě prvního je aritmetickým průměrem obou sousedních členů:

 

Obráceně pokud tato vlastnost platí pro všechny členy posloupnosti počínaje druhým, tak se jedná o aritmetickou posloupnost (důkaz např. matematickou indukcí).

Souvislost s geometrickou posloupnostíEditovat

Je-li posloupnost   aritmetická, tak je posloupnost   geometrická (pro libovolný základ b≥0).

Je-li posloupnost   geometrická s kladnými členy, tak je posloupnost   aritmetická (pro libovolný základ b>0, b≠1).

Aritmetická řadaEditovat

Součet členů aritmetické posloupnosti je označován jako aritmetická řada. Kromě případu posloupnosti samých nul je řada divergentní.

Součet aritmetické řady je dán jako limita posloupnosti n-tých částečných součtů. Platí tedy

 ,

kde kladné znaménko platí pro   anebo   a záporné pro   anebo  .

Pro   je součet

 

OdkazyEditovat

ReferenceEditovat

  1. DLAB, Vlastimil. Aritmetické posloupnosti vyšších řádů [online]. MFF UK [cit. 2015-03-17]. Dostupné online. 

Související článkyEditovat