Aritmetická posloupnost

Aritmetická posloupnost je druh matematické posloupnosti, kde je stálý rozdíl mezi sousedními členy. Tento rozdíl mezi libovolným členem kromě prvního a předcházejícím členem se obvykle značí d a nazývá diference. Aritmetickou posloupnost lze chápat jako lineární funkci definovanou v oboru přirozených čísel a proto i pro svou jednoduchost je jedním z nejdůležitějších typů posloupností. Zobecněním je aritmetická posloupnost vyššího řádu (někdy též vyššího stupně), jejíž i-tý člen lze vyjádřit jako hodnotu nějakého pevného polynomu pro dané i. Řád aritmetické posloupnosti pak definujeme jako stupeň tohoto polynomu, přičemž posloupnost samých nul má řád -1.

Vzorce

V následujících vzorcích označuje $a_{n}$ n-tý člen aritmetické posloupnosti a d její diferenci.

Rekurentní zadání

• známe některý člen a jeho index: $i,a_{i}$

• známe rekurentní vzorec vyjadřující, že sousední členy se liší o konstantu: $\,a_{n+1}=a_{n}+d$

Zadání vzorcem pro n-tý člen

$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d$

Vyjádření r-tého členu z s-tého

$a_{r}=a_{s}+(r-s)\cdot d$

Součet prvních n členů

$s_{n}={\frac {n\cdot (a_{1}+a_{n})}{2}}=na_{1}+{\frac {1}{2}}n(n-1)d$

Odvození vzorce pro součet prvních n členů

Animovaný důkaz součtu řady celých čísel 1+2+...+n.

Součet prvních $n$ členů aritmetické posloupnosti lze spočítat následovně:

$s_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\ldots +[a_{1}+(n-2)d]+[a_{1}+(n-1)d]$

Napišme součet znovu, ale v obráceném pořadí sčítanců:

$s_{n}=[a_{1}+(n-1)d]+[a_{1}+(n-2)d]+\ldots +(a_{1}+d)+a_{1}$

Vidíme, že součty odpovídajících členů "pod sebou" jsou stejné:

$2s_{n}=n\cdot [a_{1}+a_{1}+(n-1)d],$

$s_{n}={\frac {n\cdot (a_{1}+a_{n})}{2}}.$

Historická souvislost

Pro důkaz vzorce pro výpočet součtu aritmetické posloupnosti (viz přiložený animovaný obrázek) je možné využít příběh o mladém matematikovi K. F. Gaussovi (1777–1855). Když byl Gauss malým žáčkem, potřeboval žáčky jejich učitel zaměstnat, a tak jim zadal úkol sečíst čísla od 1 do 100. Zatímco spolužáci byli teprve na začátku výpočtu, malý žáček Gauss již hlásil výsledek (celkem 5 050). Uvědomil si totiž, že když si napíše řadu čísel 1 až 100 a nad ní stejnou řadu v obráceném pořadí, bude součet pod sebou napsaných čísel vždy 101 (první a poslední člen je $1+100=101$, druhý a předposlední člen je $2+99=101$, atd.) a těchto součtů bude celkem 100. Takže celkový součet bude $100\cdot 101=10100$, avšak řada je v něm započtena dvakrát, takže je výsledek nutné vydělit dvěma, a proto bude součet řady $s_{100}={\frac {100\cdot (100+1)}{2}}=5050$.

Příklad

Například je-li $a_{1}=-5$ a $d=3$, pak několik prvních členů aritmetické posloupnosti je: −5, −2, 1, 4, 7, 10, 13, …

Souvislost s aritmetickým průměrem

Pro aritmetickou posloupnost platí, že každý člen kromě prvního je aritmetickým průměrem obou sousedních členů:

$\ a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}$

Obráceně pokud tato vlastnost platí pro všechny členy posloupnosti počínaje druhým, tak se jedná o aritmetickou posloupnost (důkaz např. matematickou indukcí).

Souvislost s geometrickou posloupností

Je-li posloupnost $a_{n}$ aritmetická, tak je posloupnost $b^{a_{n}}$ geometrická (pro libovolný základ b≥0).

Je-li posloupnost $g_{n}$ geometrická s kladnými členy, tak je posloupnost $\quad \log _{b}g_{n}$ aritmetická (pro libovolný základ b>0, b≠1).

Aritmetická řada

Součet členů aritmetické posloupnosti je označován jako aritmetická řada. Kromě případu posloupnosti samých nul je řada divergentní.

Součet aritmetické řady je dán jako limita posloupnosti n-tých částečných součtů. Platí tedy

$\lim _{n\to \infty }s_{n}=\pm \infty$,

kde kladné znaménko platí pro $d>0$ anebo $d=0,a_{1}>0$ a záporné pro $d<0$ anebo $d=0,a_{1}<0$.

Pro $a_{1}=d=0$ je součet

$\lim _{n\to \infty }s_{n}=0.$

Odkazy

Související články

• Geometrická posloupnost
• Harmonická posloupnost
• Aritmeticko-geometrická posloupnost

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu aritmetická posloupnost na Wikimedia Commons

Autoritní data	LCCN: sh85120238 NLI: 987007531747705171

Portály: Matematika