Podmíněnost matice

Podmíněnost matice nebo též číslo podmíněnosti matice, je číslo, které kvalitativně charakterizuje danou matici a do značné míry determinuje chování (zejména přesnost) řady numerických maticových algoritmů.

Čtvercová regulární maticeEditovat

Nechť   je čtvercová regulární matice, pak číslo

 

kde   značí libovolnou maticovou normu, nazveme podmíněností matice   vzhledem k této normě (v praxi se nejčastěji používá   spektrální a   Frobeniova norma).

Uvažujme podmíněnost indukovanou spektrální normou. Je-li matice   symetrická pozitivně definitní (tj. normální matice s kladnými vlastními čísly), pak

 

kde podíl vpravo je podíl největšího a nejmenšího vlastního čísla matice  .

Je-li regulární matice   normální (tedy  ), pak

 

kde   je spektrum matice  ; podmíněnost je tedy podíl v absolutní hodnotě největšího a v absolutní hodnotě nejmenšího vlastního čísla matice  .

Pro obecnou čtvercovou regulární matici   je podmíněnost

 

dána podílem největšího a nejmenšího singulárního čísla matice   (singulární čísla normálních matic jsou absolutní hodnoty vlastních čísel).

Zřejmě obecně platí

 


PříkladyEditovat

Ortogonální maticeEditovat

Je-li matice   ortogonální, pak zřejmě  . Obecně platí

 

kde  .

Vzdálenost od nejbližší singulární maticeEditovat

Je-li matice   regulární, a matice   je nějaká její perturbace tak, že

 

pak je i matice   regulární. Důkaz jen naznačíme. Podmínku

 

lze zapsat ve tvaru  . Místo tvrzení původního lze snadno dokázat tvrzení opačné: je-li   singulární, pak  . Nechť tedy existuje   tak, že  , tedy  , pak

 

Protože   můžeme nerovnost dělit   a dostáváme shora uvedené tvrzení. (Všimněme si, že důkaz a tedy i tvrzení platí pro libovolnou multiplikativní maticovou normu a jí indukovanou podmíněnost, nejen pro normu spektrální.)

Podmíněnost (respektive její převrácená hodnota) tedy vyjadřuje vzdálenost od nejbližší singulární matice.

Podmíněnost versus determinantEditovat

Pro rozlišení singulárních a regulárních matic se často používá determinantu matice. Velkou nevýhodou determinantu, ve srovnání s číslem podmíněnosti, je fakt, že je-li determinant nenulový ale velmi blízký nule, o vzdálenosti dané matice od nejbližší matice singulární to nic nevypovídá. V praktických výpočtech je tudíž determinant naprosto nepoužitelný. Uvažujme pro příklad skalární násobek jednotkové (tedy ortogonální a bezesporu regulární) matice

 

pak

 

V běžně používané konečné aritmetice s plovoucí řádovou čárkou (double,  ) je determinant této matice nulový.

Podmíněnost singulární matice jako limitaEditovat

Nechť   je matice jejíž koeficienty spojitě závisí na parametru   a nechť všechna singulární čísla matice   jsou jednoduchá pro všechna   (pak jsou též spojitými funkcemi parametru  ). Nechť je matice   regulární všude v nějakém okolí bodu   a zároveň   je singulární. Pak

 

Obdélníková maticeEditovat

Uvažujme obdélníkovou matici  , která má plnou hodnost, tedy  . Podmíněnost je pak opět dána podílem největšího a nejmenšího singulárního čísla

 

kde   je Moore-Penroseova pseudoinverze matice  .

Podmíněnost obecné matice lze analogicky definovat pomocí součinu normy matice a normy její Moore-Penroseovy pseudoinverze, tedy jako podíl největšího a nejmenšího nenulového singulárního čísla. Takto definovaná podmíněnost je vždy konečné číslo, a je tedy různá od podmíněnosti shora uvedené čtvercové singulární matice, která byla zavedena limitním přechodem. V numerické analýze se ovšem velmi často vyskytují matice regulární, nebo alespoň plné hodnosti. Konečná podmíněnost zcela obecné matice je potřeba řidčeji.

ReferenceEditovat

  • J. Duintjer Tebbens, I. Hnětynková, M. Plešinger, Z. Strakoš, P. Tichý: Analýza metod pro maticové výpočty, základní metody. Matfyzpress 2012. ISBN 978-80-7378-201-6.